Для решения системы уравнений с модулями необходимо рассмотреть каждое уравнение по отдельности, так как модули могут принимать разные значения в зависимости от знака выражения внутри модуля. Давайте разберем каждое уравнение по порядку.

1. |x| - 3 = 4
   • Переносим 3 на правую сторону: |x| = 4 + 3 = 7.
   • Теперь у нас два случая: x = 7 и x = -7.
2. 3|x| - 4 = 5
   • Переносим -4 на правую сторону: 3|x| = 5 + 4 = 9.
   • Делим обе стороны на 3: |x| = 9 / 3 = 3.
   • Два случая: x = 3 и x = -3.
3. |4x| = 0
   • Поскольку модуль равен нулю, то 4x = 0.
   • Следовательно, x = 0.
4. |4 - x| = 2.5
   • Рассматриваем два случая:
   • 1) 4 - x = 2.5, тогда x = 4 - 2.5 = 1.5.
   • 2) 4 - x = -2.5, тогда x = 4 + 2.5 = 6.5.
5. |5x + 1| = 4
   • Рассматриваем два случая:
   • 1) 5x + 1 = 4, тогда 5x = 3, x = 3/5.
   • 2) 5x + 1 = -4, тогда 5x = -5, x = -1.
6. |6x| + 35 = 10
   • Переносим 35 на правую сторону: |6x| = 10 - 35 = -25.
   • Поскольку модуль не может быть отрицательным, это уравнение не имеет решений.
7. 4|x| + 12 = 11|x| - 37
   • Переносим все члены с |x| на одну сторону: 4|x| - 11|x| = -37 - 12.
   • Упрощаем: -7|x| = -49, тогда |x| = 49 / 7 = 7.
   • Два случая: x = 7 и x = -7.
8. 4 × |2x + 6| + 7 = 15
   • Сначала вычтем 7: 4 × |2x + 6| = 15 - 7 = 8.
   • Делим обе стороны на 4: |2x + 6| = 2.
   • Рассматриваем два случая:
   • 1) 2x + 6 = 2, тогда 2x = -4, x = -2.
   • 2) 2x + 6 = -2, тогда 2x = -8, x = -4.

Теперь мы можем собрать все найденные решения:

• x = 7
• x = -7
• x = 3
• x = -3
• x = 0
• x = 1.5
• x = 6.5
• x = 3/5
• x = -1
• x = -2
• x = -4

Некоторые из этих значений могут повторяться, и мы можем оставить только уникальные решения.