Какое двузначное число задумали, если при перестановке его цифр сумма квадратов полученного и задуманного числа равна 585, а вторая цифра меньше первой на 1?

Математика 8 класс Системы уравнений Двузначное число сумма квадратов перестановка цифр математика 8 класс задача на логику Новый

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Пусть двузначное число, которое мы задумали, обозначим как 10a + b, где a - первая цифра (десятки), а b - вторая цифра (единицы). По условию задачи, вторая цифра меньше первой на 1, то есть:

• b = a - 1

Теперь, если мы переставим цифры, получим новое число, которое можно записать как 10b + a.

Согласно условию, сумма квадратов задуманного и полученного числа равна 585. Это можно записать в виде уравнения:

• (10a + b)² + (10b + a)² = 585

Теперь подставим b = a - 1 в уравнение:

• (10a + (a - 1))² + (10(a - 1) + a)² = 585

Упростим это уравнение:

• (10a + a - 1)² + (10a - 10 + a)² = 585
• (11a - 1)² + (11a - 10)² = 585

Теперь раскроем скобки:

• (11a - 1)² = 121a² - 22a + 1
• (11a - 10)² = 121a² - 220a + 100

Теперь сложим эти два выражения:

• 121a² - 22a + 1 + 121a² - 220a + 100 = 585
• 242a² - 242a + 101 = 585

Теперь перенесем 585 в левую часть:

• 242a² - 242a + 101 - 585 = 0
• 242a² - 242a - 484 = 0

Теперь упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 242:

• a² - a - 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы:

• a = (1 ± √(1 + 8)) / 2
• a = (1 ± 3) / 2

Таким образом, получаем два возможных значения для a:

• a = 2
• a = -1 (не подходит, так как a - цифра)

Теперь, когда мы нашли a = 2, подставим его обратно, чтобы найти b:

• b = a - 1 = 2 - 1 = 1

Таким образом, задуманное двузначное число:

• 10a + b = 10 * 2 + 1 = 21

Теперь проверим условия задачи:

• Перестановка цифр дает число 12.
• Сумма квадратов: 21² + 12² = 441 + 144 = 585.

Все условия выполнены, следовательно, задуманное двузначное число - это 21.