Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Итак, у нас есть дробь, которую мы обозначим как a/b, где a - числитель, а b - знаменатель. Условие задачи говорит, что a и b - взаимно простые числа, а также, что сумма этой дроби с её обратным числом равна 89/40.

Обратное число дроби a/b будет b/a. Теперь мы можем записать уравнение:

a/b + b/a = 89/40

Чтобы сложить дроби a/b и b/a, нам нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет ab. Запишем это:

1. a/b = (a^2)/(ab)
2. b/a = (b^2)/(ab)

Теперь складываем дроби:

(a^2 + b^2) / ab = 89/40

Теперь перемножим обе стороны уравнения на 40ab, чтобы избавиться от дробей:

40(a^2 + b^2) = 89ab

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает a и b. Давайте преобразуем его:

40a^2 + 40b^2 = 89ab

Это уравнение можно переписать в стандартной форме:

40a^2 - 89ab + 40b^2 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно a. Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

a = ( -b ± sqrt(b^2 - 4ac) ) / 2a

В нашем случае:

• A = 40
• B = -89b
• C = 40b^2

Теперь подставим значения в формулу:

a = (89b ± sqrt((-89b)^2 - 4 * 40 * 40b^2)) / (2 * 40)

Теперь упростим дискриминант:

D = 7921b^2 - 6400b^2 = 1521b^2

Теперь мы можем выразить a:

a = (89b ± 39b) / 80

Это дает нам два возможных значения для a:

• a = (128b) / 80 = 16b / 10 = 8b / 5
• a = (50b) / 80 = 5b / 8

Теперь нам нужно найти модуль разности между a и b. Рассмотрим оба случая:

• Для a = 8b / 5:
  • Модуль разности: |8b/5 - b| = |(8b - 5b) / 5| = |3b / 5| = 3b / 5
• Для a = 5b / 8:
  • Модуль разности: |5b/8 - b| = |(5b - 8b) / 8| = |(-3b) / 8| = 3b / 8

Таким образом, в зависимости от выбранного значения b, модуль разности между числителем и знаменателем дроби может быть равен 3b/5 или 3b/8.

Так как a и b взаимно простые, мы можем подставить конкретные значения, чтобы получить ответ. Например, если b = 5, то a = 8, и модуль разности будет равен 3. Если b = 8, то a = 5, и модуль разности также будет равен 3.

Таким образом, окончательный ответ: модуль разности между числителем и знаменателем дроби равен 3.