Каково соотношение объема единичного шара к объему единичного тетраэдра?

Математика 8 класс Геометрия соотношение объема шара и тетраэдра объем единичного шара объем единичного тетраэдра геометрия 8 класс математика 8 класс Новый

Чтобы найти соотношение объема единичного шара к объему единичного тетраэдра, сначала нужно рассчитать объемы обоих фигур.

1. Объем единичного шара:

Формула для объема шара V равна:

V = (4/3) * π * r^3

Где r - радиус шара. Для единичного шара радиус r = 1. Подставим значение:

V = (4/3) * π * 1^3 = (4/3) * π

2. Объем единичного тетраэдра:

Формула для объема тетраэдра V равна:

V = (1/3) * S * h

Где S - площадь основания, h - высота. Для единичного тетраэдра, основание - это равносторонний треугольник со стороной 1. Площадь такого треугольника S равна:

S = (√3 / 4) * a^2, где a - длина стороны. Подставим a = 1:

S = (√3 / 4) * 1^2 = √3 / 4

Высота tетраэдра h равна (√2 / 3) * a, подставим a = 1:

h = (√2 / 3) * 1 = √2 / 3

Теперь подставим S и h в формулу для объема тетраэдра:

V = (1/3) * (√3 / 4) * (√2 / 3) = (√6) / 36

3. Соотношение объемов:

Теперь, чтобы найти соотношение объема шара к объему тетраэдра, нужно разделить объем шара на объем тетраэдра:

Соотношение = V(шар) / V(тетраэдр) = [(4/3) * π] / [(√6) / 36]

Упростим это выражение:

• Умножим на обратную величину объема тетраэдра:
• Соотношение = [(4/3) * π] * (36 / √6)
• Соотношение = (4 * 36 * π) / (3 * √6)

Таким образом, соотношение объема единичного шара к объему единичного тетраэдра равно (144π) / (3√6).