Каковы два числа, если разность их квадратов равна 100, а если из утроенного первого числа вычесть удвоенное второе число, то получится 30?

Математика 8 класс Системы уравнений разность квадратов два числа утроенное первое число удвоенное второе число математическая задача решение уравнений алгебра 8 класс Новый

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим два числа как x и y. У нас есть две условия:

1. Разность квадратов этих чисел равна 100: x^2 - y^2 = 100.
2. Если из утроенного первого числа вычесть удвоенное второе число, то получится 30: 3x - 2y = 30.

Теперь мы можем решить эту систему уравнений.

Первое уравнение можно переписать с использованием формулы разности квадратов:

(x - y)(x + y) = 100

Теперь давайте выразим y из второго уравнения:

3x - 2y = 30

Отсюда:

2y = 3x - 30

Следовательно, y = (3x - 30) / 2.

Теперь подставим это значение y в первое уравнение:

x^2 - ((3x - 30) / 2)^2 = 100.

Теперь упростим это уравнение:

x^2 - (9x^2 - 180x + 900) / 4 = 100.

Умножим всё уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей:

4x^2 - (9x^2 - 180x + 900) = 400.

Раскроем скобки:

4x^2 - 9x^2 + 180x - 900 = 400.

Соберем все члены в одном уравнении:

-5x^2 + 180x - 1300 = 0.

Умножим уравнение на -1 для упрощения:

5x^2 - 180x + 1300 = 0.

Теперь применим дискриминант для решения квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac = (-180)^2 - 4 5 1300.

Вычислим дискриминант:

D = 32400 - 26000 = 6400.

Теперь найдем корни уравнения:

x = (180 ± √6400) / (2 * 5).

Корень из 6400 равен 80:

x = (180 ± 80) / 10.

Таким образом, у нас есть два значения для x:

• x1 = (180 + 80) / 10 = 26
• x2 = (180 - 80) / 10 = 10

Теперь подставим найденные значения x обратно в уравнение для y:

Для x = 26:

y = (3 * 26 - 30) / 2 = (78 - 30) / 2 = 24.

Для x = 10:

y = (3 * 10 - 30) / 2 = (30 - 30) / 2 = 0.

Таким образом, мы получили два возможных решения:

• Первое решение: (x, y) = (26, 24).
• Второе решение: (x, y) = (10, 0).

Ответ: два числа могут быть 26 и 24, или 10 и 0.