Для нахождения натуральных решений системы уравнений:

• x + y = 6
• x² + y² = 53

Начнем с первого уравнения. Мы можем выразить одно переменную через другую. Например, выразим y через x:

y = 6 - x

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

x² + (6 - x)² = 53

Раскроем скобки во втором уравнении:

x² + (6 - x)(6 - x) = 53

x² + (36 - 12x + x²) = 53

Теперь объединим подобные члены:

2x² - 12x + 36 = 53

Переносим 53 на левую сторону уравнения:

2x² - 12x + 36 - 53 = 0

2x² - 12x - 17 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac

• a = 2
• b = -12
• c = -17

Подставляем значения в формулу для дискриминанта:

D = (-12)² - 4 * 2 * (-17)

D = 144 + 136

D = 280

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

x = (-b ± √D) / (2a)

x = (12 ± √280) / 4

Корень из 280 можно упростить:

√280 = √(4 * 70) = 2√70

Теперь подставляем это значение:

x = (12 ± 2√70) / 4

x = 3 ± (√70) / 2

Теперь мы можем найти значения x:

1. x = 3 + (√70) / 2

2. x = 3 - (√70) / 2

Однако, мы ищем натуральные решения, поэтому необходимо проверить, какие значения x и y будут натуральными. Мы знаем, что x + y = 6, следовательно, y = 6 - x.

Теперь подберем натуральные значения для x, которые удовлетворяют первому уравнению:

• Если x = 1, то y = 6 - 1 = 5. Проверяем: 1² + 5² = 1 + 25 = 26 (не подходит).
• Если x = 2, то y = 6 - 2 = 4. Проверяем: 2² + 4² = 4 + 16 = 20 (не подходит).
• Если x = 3, то y = 6 - 3 = 3. Проверяем: 3² + 3² = 9 + 9 = 18 (не подходит).
• Если x = 4, то y = 6 - 4 = 2. Проверяем: 4² + 2² = 16 + 4 = 20 (не подходит).
• Если x = 5, то y = 6 - 5 = 1. Проверяем: 5² + 1² = 25 + 1 = 26 (не подходит).

Таким образом, натуральные решения данной системы уравнений отсутствуют.