Давайте решим уравнение 3√(x+3) - √(x-2) = 7 шаг за шагом.

Начнем с того, что перенесем один из корней на правую сторону уравнения:

1. 3√(x+3) = √(x-2) + 7

Теперь, чтобы избавиться от квадратных корней, возведем обе стороны в квадрат:

1. (3√(x+3))^2 = (√(x-2) + 7)^2
2. 9(x + 3) = (x - 2) + 14√(x-2) + 49

Упростим обе стороны:

1. 9x + 27 = x - 2 + 14√(x-2) + 49
2. 9x + 27 = x + 47 + 14√(x-2)

Теперь перенесем x и 47 на левую сторону:

1. 9x - x + 27 - 47 = 14√(x-2)
2. 8x - 20 = 14√(x-2)

Теперь изолируем корень:

1. 14√(x-2) = 8x - 20
2. √(x-2) = (8x - 20) / 14

Возводим обе стороны в квадрат:

1. x - 2 = ((8x - 20) / 14)^2

Теперь упрощаем правую часть:

1. x - 2 = (64x^2 - 320x + 400) / 196

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны на 196:

1. 196(x - 2) = 64x^2 - 320x + 400
2. 196x - 392 = 64x^2 - 320x + 400

Переносим все на одну сторону уравнения:

1. 64x^2 - 320x - 196x + 400 + 392 = 0
2. 64x^2 - 516x + 792 = 0

Разделим все коэффициенты на 4, чтобы упростить уравнение:

1. 16x^2 - 129x + 198 = 0

Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

1. x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 16, b = -129, c = 198.

Сначала находим дискриминант:

1. D = b^2 - 4ac = (-129)^2 - 4 * 16 * 198
2. D = 16641 - 12672 = 3969

Теперь подставляем в формулу:

1. x1 = (129 + √3969) / (2 * 16)
2. x2 = (129 - √3969) / (2 * 16)

√3969 = 63, подставляем:

1. x1 = (129 + 63) / 32 = 192 / 32 = 6
2. x2 = (129 - 63) / 32 = 66 / 32 = 2.0625

Теперь проверим оба корня в исходном уравнении:

1. Для x1 = 6: 3√(6+3) - √(6-2) = 3√9 - √4 = 9 - 2 = 7. Верно!
2. Для x2 = 2.0625: 3√(2.0625+3) - √(2.0625-2) = 3√5.0625 - √0.0625 = 3*2.25 - 0.25 = 6.75 - 0.25 = 6.5. Не верно!

Таким образом, единственный корень уравнения: x = 6.