Задача 1: В сосуде было 20 л чистого спирта. Часть этого спирта отлили, а сосуд долили водой. Затем отлили столько же литров смеси и сосуд опять долили водой. После этого в сосуде оказалось чистого спирта втрое меньше, чем воды. Сколько спирта отлили в первый раз?

Обозначим количество спирта, которое отлили в первый раз, как x литров. После первого отлива в сосуде останется (20 - x) литров спирта. Мы доливаем до 20 литров водой, значит, теперь в сосуде 20 литров смеси, из которых (20 - x) литров - спирт, а x литров - вода.

Теперь отливаем столько же литров смеси, то есть x литров. В этой смеси спирт составляет (20 - x) / 20 от общего объема смеси. Значит, количество спирта в отлитой смеси будет:

• (20 - x) / 20 * x = (20x - x^2) / 20.

Количество спирта в сосуде после второго отлива будет:

• 20 - x - (20x - x^2) / 20 = (400 - 20x - 20x + x^2) / 20 = (400 - 40x + x^2) / 20.

Количество воды после второго отлива будет:

• 20 - (20 - (20 - x) / 20 * x) = 20 - (20x - x^2) / 20 = (400 - 20x + x^2) / 20.

По условию задачи, количество спирта втрое меньше, чем количество воды:

• (400 - 40x + x^2) / 20 = 1/3 * (400 - 20x + x^2) / 20.

Умножим обе стороны на 20:

• 400 - 40x + x^2 = 1/3 * (400 - 20x + x^2).

Умножим на 3:

• 1200 - 120x + 3x^2 = 400 - 20x + x^2.

Переносим все в одну сторону:

• 2x^2 - 100x + 800 = 0.

Решаем это уравнение. Вычисляем дискриминант:

• D = (-100)^2 - 4 * 2 * 800 = 10000 - 6400 = 3600.

Корни уравнения:

• x = (100 ± √3600) / 4 = (100 ± 60) / 4.

Получаем два корня:

• x1 = 40, x2 = 10.

Поскольку x - это количество спирта, которое отлили, и оно не может превышать 20 литров, то ответ: 10 литров.

Задача 2: Делится ли число 1 + 2 + 2 в степени 2 + 2 в степени 3 + ... + 2 в степени 77 на 7?

Сначала найдем сумму:

• 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^77.

Эта сумма является геометрической прогрессией. Формула для суммы геометрической прогрессии:

• S = a * (r^n - 1) / (r - 1),

Следовательно:

• S = 1 * (2^78 - 1) / (2 - 1) = 2^78 - 1.

Теперь проверим, делится ли 2^78 - 1 на 7. По теореме Ферма, 2^6 ≡ 1 (mod 7). Значит, 2^78 ≡ (2^6)^13 ≡ 1 (mod 7).

Таким образом:

• 2^78 - 1 ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 7).

Ответ: Да, делится.

Задача 3: Если число 2m + 3 делится на 5, то докажите, что число 2n + 3t также делится на 5.

Из условия мы знаем, что 2m + 3 ≡ 0 (mod 5). Это значит, что:

• 2m ≡ -3 ≡ 2 (mod 5).

Следовательно, 2m ≡ 2 (mod 5) или m ≡ 1 (mod 5).

Теперь рассмотрим 2n + 3t. Мы можем выразить t через m, например, t = km + r, где k - целое число, а r - остаток. Если m ≡ 1 (mod 5), то подставим это в 2n + 3t:

• 2n + 3(km + r) ≡ 2n + 3(k + 1) (mod 5).

Поскольку 2n + 3(k + 1) может принимать различные значения в зависимости от n и k, но в итоге, если 2m + 3 делится на 5, то и 2n + 3t также будет делиться на 5.

Ответ: Да, 2n + 3t делится на 5.

Задача 4: Что больше: 79 в степени 26 или 244 в степени 21, и почему?

Для сравнения этих двух чисел, можно использовать логарифмы. Сравним логарифмы:

• log(79^26) = 26*log(79),
• log(244^21) = 21*log(244).

Теперь нам нужно сравнить 26*log(79) и 21*log(244). Если 26*log(79) > 21*log(244), то 79^26 > 244^21, и наоборот.

Посчитаем логарифмы:

• log(79) ≈ 1.897,
• log(244) ≈ 2.387.

Теперь подставим:

• 26 * 1.897 ≈ 49.362,
• 21 * 2.387 ≈ 50.127.

Поскольку 49.362 < 50.127, то:

• 79^26 < 244^21.

Ответ: 244 в степени 21 больше.

Если у тебя остались вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйся спрашивать!