Решите задачу с помощью системы уравнений:

1. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр 18 м, а площадь 20 м2.
2. Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ 13 см. Найдите стороны прямоугольника.

Можно пожалуйста обе задачи с пошаговым решением?

Математика 8 класс Системы уравнений математика система уравнений задача о прямоугольнике периметр и площадь решение задач стороны прямоугольника геометрические задачи Новый

Задача 1: Найдите стороны прямоугольника, если его периметр 18 м, а площадь 20 м².

Обозначим стороны прямоугольника как a и b.

Согласно условиям задачи, у нас есть две важные формулы:

• Периметр прямоугольника: P = 2(a + b)
• Площадь прямоугольника: S = a * b

Теперь запишем систему уравнений на основе этих формул:

1. 2(a + b) = 18
2. a * b = 20

Упростим первое уравнение:

1. a + b = 9 (разделим обе стороны на 2)

Теперь у нас есть система уравнений:

1. a + b = 9
2. a * b = 20

Теперь выразим b через a из первого уравнения:

1. b = 9 - a

Подставим это значение во второе уравнение:

1. a * (9 - a) = 20

Раскроем скобки:

1. 9a - a² = 20

Перепишем уравнение в стандартной форме:

1. a² - 9a + 20 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = (-9)² - 4 * 1 * 20 = 81 - 80 = 1

Так как D > 0, у нас два различных корня:

• a₁ = (9 + √D) / 2 = (9 + 1) / 2 = 5
• a₂ = (9 - √D) / 2 = (9 - 1) / 2 = 4

Таким образом, стороны прямоугольника:

• a = 5 м, b = 4 м
• или a = 4 м, b = 5 м

Ответ: Стороны прямоугольника равны 5 м и 4 м.

Задача 2: Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ 13 см. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим стороны прямоугольника как a и b.

Согласно условиям задачи, у нас также есть две формулы:

• Периметр: P = 2(a + b)
• По теореме Пифагора: d² = a² + b² (где d — диагональ)

Запишем систему уравнений:

1. 2(a + b) = 34
2. a² + b² = 13²

Упростим первое уравнение:

1. a + b = 17 (разделим обе стороны на 2)

Теперь у нас есть система уравнений:

1. a + b = 17
2. a² + b² = 169

Выразим b через a из первого уравнения:

1. b = 17 - a

Подставим это значение во второе уравнение:

1. a² + (17 - a)² = 169

Раскроем скобки:

1. a² + (289 - 34a + a²) = 169

Соберем все в одно уравнение:

1. 2a² - 34a + 289 - 169 = 0
2. 2a² - 34a + 120 = 0

Упростим, разделив на 2:

1. a² - 17a + 60 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = (-17)² - 4 * 1 * 60 = 289 - 240 = 49

Так как D > 0, у нас два различных корня:

• a₁ = (17 + √D) / 2 = (17 + 7) / 2 = 12
• a₂ = (17 - √D) / 2 = (17 - 7) / 2 = 5

Таким образом, стороны прямоугольника:

• a = 12 см, b = 5 см
• или a = 5 см, b = 12 см

Ответ: Стороны прямоугольника равны 12 см и 5 см.