Сформулируйте и докажите теорему о соотношении площадей подобных треугольников.

Математика 8 класс Похожие треугольники теорема о соотношении площадей Подобные треугольники доказательство теоремы площади треугольников математика 8 класс Новый

Теорема о соотношении площадей подобных треугольников гласит:

Если два треугольника подобны, то отношение их площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон.

Формально это можно записать так:

Если треугольники ABC и A'B'C' подобны, то:

S(ABC) / S(A'B'C') = (AB / A'B')^2

Доказательство:

1. Пусть треугольники ABC и A'B'C' подобны. Это значит, что углы этих треугольников равны, а стороны пропорциональны.
2. Обозначим длины сторон треугольника ABC как a, b и c, а длины сторон треугольника A'B'C' как a', b' и c'.
3. Так как треугольники подобны, то существует коэффициент подобия k, такой что:
• a' = k * a
• b' = k * b
• c' = k * c
4. Теперь найдем площади треугольников. Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона или через основание и высоту.
5. Для треугольника ABC площадь S(ABC) можно выразить через основание и высоту:
• S(ABC) = (1/2) * a * h, где h – высота, проведенная к стороне a.
6. Для треугольника A'B'C' площадь S(A'B'C') будет:
• S(A'B'C') = (1/2) * a' * h', где h' – высота, проведенная к стороне a'.
7. Так как A'B'C' подобен ABC, то высоты также пропорциональны сторонам:
• h' = k * h.
8. Теперь подставим a' и h' в формулу для площади S(A'B'C'):
• S(A'B'C') = (1/2) * (k * a) * (k * h) = (1/2) * k^2 * a * h.
9. Теперь найдем отношение площадей:
• S(ABC) / S(A'B'C') = [(1/2) * a * h] / [(1/2) * k^2 * a * h] = 1 / k^2.
10. Таким образом, мы получили, что:
• S(ABC) / S(A'B'C') = (AB / A'B')^2.

Итак, мы доказали теорему о соотношении площадей подобных треугольников! Это невероятно увлекательно, когда математика раскрывает свои тайны, не так ли?