Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Найдем стороны прямоугольника.

Периметр прямоугольника равен 24. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле:

Периметр = 2 * (длина + ширина).

Обозначим длину прямоугольника как a, а ширину как b. Тогда у нас есть уравнение:

2 * (a + b) = 24.

Разделим обе стороны на 2:

a + b = 12.

2. Используем свойства прямоугольного треугольника.

Стороны прямоугольника являются катетами прямоугольного треугольника, а гипотенуза равна 4√5. По теореме Пифагора мы знаем, что:

гипотенуза² = катет1² + катет2².

Подставим наши обозначения:

(4√5)² = a² + b².

Вычислим (4√5)²:

(4√5)² = 16 * 5 = 80.

Таким образом, у нас есть второе уравнение:

a² + b² = 80.

3. Теперь у нас есть система уравнений:

• a + b = 12
• a² + b² = 80

4. Решим эту систему уравнений.

Из первого уравнения выразим b:

b = 12 - a.

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

a² + (12 - a)² = 80.

Раскроем скобки:

a² + (144 - 24a + a²) = 80.

Соберем подобные слагаемые:

2a² - 24a + 144 - 80 = 0.

2a² - 24a + 64 = 0.

Разделим уравнение на 2:

a² - 12a + 32 = 0.

5. Решим квадратное уравнение.

Используем формулу дискриминанта:

D = b² - 4ac, где a = 1, b = -12, c = 32.

D = (-12)² - 4 * 1 * 32 = 144 - 128 = 16.

Теперь найдем корни уравнения:

a = (12 ± √16) / 2.

√16 = 4, тогда:

a = (12 ± 4) / 2.

Это дает два значения:

a1 = (12 + 4) / 2 = 8 и a2 = (12 - 4) / 2 = 4.

Таким образом, стороны прямоугольника:

a = 8, b = 4 (или наоборот).

6. Теперь найдем площадь прямоугольника.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:

Площадь = длина * ширина.

Подставляем найденные значения:

Площадь = 8 * 4 = 32.

Таким образом, площадь данного прямоугольника равна 32.