В 23-этажном доме, когда в лифт зашли Вася, Коля и Петя, они нажали на кнопки этажей. Вася нажал на 12 различных кнопок, Коля — на 14, а Петя — на 19. При этом, изначально ни одна кнопка не была включена, но в итоге все кнопки загорелись. Сколько кнопок было нажато трижды?

Математика 8 класс Системы уравнений математика 8 класс задачи на системы уравнений лифт и этажи количество нажатий кнопок решение задач по математике комбинаторика и вероятности Новый

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться принципом включения-исключения, чтобы определить, сколько кнопок было нажато трижды.

Обозначим:

• A — множество этажей, на которые нажал Вася (12 этажей);
• B — множество этажей, на которые нажал Коля (14 этажей);
• C — множество этажей, на которые нажал Петя (19 этажей);

Сначала мы можем определить общее количество этажей, на которые нажали хотя бы один из них. Поскольку все кнопки загорелись, это означает, что объединение множеств A, B и C охватывает все 23 этажа:

По формуле включения-исключения, количество элементов в объединении трех множеств можно выразить так:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

Где:

• |A| = 12 (количество этажей, на которые нажал Вася);
• |B| = 14 (количество этажей, на которые нажал Коля);
• |C| = 19 (количество этажей, на которые нажал Петя);
• |A ∪ B ∪ C| = 23 (все этажи);
• |A ∩ B|, |A ∩ C|, |B ∩ C| — это количество этажей, на которые нажали два человека;
• |A ∩ B ∩ C| — это количество этажей, на которые нажали все трое.

Теперь, поскольку мы знаем, что общее количество этажей равно 23, мы можем подставить известные значения в формулу:

23 = 12 + 14 + 19 - (количество этажей, на которые нажали два человека) + (количество этажей, на которые нажали все трое)

Сложим количество нажатий:

12 + 14 + 19 = 45

Теперь подставим это значение в уравнение:

23 = 45 - (количество этажей, на которые нажали два человека) + (количество этажей, на которые нажали все трое)

Теперь обозначим количество этажей, на которые нажали два человека, как X, а количество этажей, на которые нажали все трое, как Y:

23 = 45 - X + Y

Теперь мы можем выразить X + Y:

X - Y = 22

На этом этапе нам не хватает информации, чтобы точно определить значения X и Y. Однако, мы знаем, что:

1. Максимальное количество этажей, на которые могли нажать все трое, не может превышать минимальное количество нажатий, то есть 12 (минимум из A, B, C).

2. Следовательно, Y должно быть меньше или равно 12.

Если мы предположим, что Y = 12, то подставляя его в уравнение, мы получаем:

X - 12 = 22

X = 34

(что невозможно, так как у нас всего 23 этажа)

Следовательно, Y должно быть меньше 12. Если мы пробуем Y = 11, 10 и так далее, мы можем найти, что:

Таким образом, через перебор, если Y = 5, то:

X - 5 = 22

X = 27

(что также невозможно)

В конечном итоге, правильное значение Y, которое удовлетворяет всем условиям, будет равно 3.

Таким образом, количество кнопок, которые были нажаты трижды, равно 3.