Вопрос 1. Запишите в виде обыкновенной дроби:

• 0,(3);
• 0,(15);
• 0,2(4);
• 3,11(27);

Вопрос 2. Даны числа z=7-7i и z=0.3+0.3i:

1. а) Постройте их на плоскости;
2. б) Запишите числа в тригонометрической форме.

Математика 8 класс Числовые дроби и комплексные числа математика 8 класс обыкновенные дроби десятичные дроби тригонометрическая форма комплексные числа построение на плоскости Новый

Вопрос 1: Запишите в виде обыкновенной дроби.

Чтобы преобразовать десятичные дроби с периодом в обыкновенные дроби, следуем следующим шагам:

1. 0,(3):
   • Обозначим x = 0,3333... .
   • Умножим обе стороны на 10: 10x = 3,3333... .
   • Теперь вычтем первое уравнение из второго: 10x - x = 3,3333... - 0,3333... .
   • Это дает 9x = 3, следовательно, x = 3/9 = 1/3.
2. 0,(15):
   • Обозначим y = 0,151515... .
   • Умножим обе стороны на 100: 100y = 15,151515... .
   • Вычтем первое уравнение из второго: 100y - y = 15,151515... - 0,151515... .
   • Это дает 99y = 15, следовательно, y = 15/99 = 5/33.
3. 0,2(4):
   • Обозначим z = 0,2444... .
   • Умножим обе стороны на 10: 10z = 2,4444... .
   • Вычтем первое уравнение из второго: 10z - z = 2,4444... - 0,2444... .
   • Это дает 9z = 2,2, следовательно, z = 2,2/9 = 22/90 = 11/45.
4. 3,11(27):
   • Обозначим w = 3,112727... .
   • Умножим обе стороны на 100: 100w = 311,272727... .
   • Теперь вычтем первое уравнение из второго: 100w - w = 311,272727... - 3,112727... .
   • Это дает 99w = 308,16, следовательно, w = 308,16/99 = 15408/9900 = 7704/4950 = 3852/2475.

Вопрос 2: Даны числа z=7-7i и z=0.3+0.3i.

а) Постройте их на плоскости.

Чтобы построить комплексные числа на комплексной плоскости, мы используем координаты:

• Для z=7-7i: по оси x (действительная часть) отмечаем 7, по оси y (мнимая часть) -7.
• Для z=0.3+0.3i: по оси x отмечаем 0.3, по оси y - 0.3.

б) Запишите числа в тригонометрической форме.

Тригонометрическая форма комплексного числа z = r(cos φ + i sin φ), где r - модуль числа, а φ - аргумент.

1. Для z=7-7i:
   • Модуль r = √(7^2 + (-7)^2) = √(49 + 49) = √98 = 7√2.
   • Аргумент φ = arctan(-7/7) = arctan(-1) = -π/4 (или 7π/4, если брать положительный угол).
   • Тригонометрическая форма: z = 7√2 (cos(-π/4) + i sin(-π/4)).
2. Для z=0.3+0.3i:
   • Модуль r = √(0.3^2 + 0.3^2) = √(0.09 + 0.09) = √0.18 = 0.3√2.
   • Аргумент φ = arctan(0.3/0.3) = arctan(1) = π/4.
   • Тригонометрическая форма: z = 0.3√2 (cos(π/4) + i sin(π/4)).