Второй член геометрической прогрессии равен 12, а сумма первых трёх членов равна 42. Какие числа являются членами этой прогрессии?

Математика 8 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия члены прогрессии сумма членов математика 8 класс задача по математике решение задачи второй член прогрессии Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Мы знаем, что второй член геометрической прогрессии равен 12. Обозначим первый член прогрессии как a, а знаменатель прогрессии как r. Тогда второй член можно выразить как:

• b = a * r = 12.

Также нам дана сумма первых трех членов прогрессии, которая равна 42. Первые три члена можно записать как:

• первый член: a,
• второй член: a * r,
• третий член: a * r^2.

Сумма первых трех членов будет равна:

• S = a + a * r + a * r^2 = 42.

Теперь мы можем подставить значение второго члена (a * r = 12) в уравнение суммы:

• S = a + 12 + a * r^2 = 42.

Теперь выразим a * r^2 через a и r:

• a * r^2 = (a * r) * r = 12 * r.

Тогда у нас получится следующее уравнение:

• a + 12 + 12 * r = 42.

Теперь упростим это уравнение:

• a + 12 * r = 42 - 12,
• a + 12 * r = 30.

Теперь у нас есть два уравнения:

• 1. a * r = 12,
• 2. a + 12 * r = 30.

Теперь выразим a из первого уравнения:

• a = 12 / r.

Подставим это значение a во второе уравнение:

• (12 / r) + 12 * r = 30.

Умножим все уравнение на r, чтобы избавиться от дроби:

• 12 + 12 * r^2 = 30 * r.

Перепишем уравнение:

• 12 * r^2 - 30 * r + 12 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4 * 12 * 12 = 900 - 576 = 324.

Теперь находим корни уравнения:

• r = (30 ± √324) / (2 * 12).

Корень из 324 равен 18, поэтому:

• r1 = (30 + 18) / 24 = 48 / 24 = 2,
• r2 = (30 - 18) / 24 = 12 / 24 = 0.5.

Теперь подставим найденные значения r обратно, чтобы найти a:

• Для r = 2: a = 12 / 2 = 6.
• Для r = 0.5: a = 12 / 0.5 = 24.

Теперь найдем члены прогрессии:

• Для r = 2: члены прогрессии: 6, 12, 24.
• Для r = 0.5: члены прогрессии: 24, 12, 6.

Таким образом, члены геометрической прогрессии могут быть:

• 6, 12, 24 или 24, 12, 6.