Чтобы найти площадь прямоугольника, нам сначала нужно определить его стороны, используя данные о вершинах и периметре.

Вершины прямоугольника A(2;a), B(2;8), C(7;8), D(7;a) показывают, что:

• Сторона AB вертикальна, так как x-координаты одинаковые (2).
• Сторона BC горизонтальна, так как y-координаты одинаковые (8).

Теперь найдем длины сторон:

1. Длина стороны AB (или CD) равна разнице y-координат точек B и A. Это будет: |8 - a|.
2. Длина стороны BC (или AD) равна разнице x-координат точек C и B. Это будет: |7 - 2| = 5.

Теперь у нас есть длины сторон:

• Длина стороны AB = |8 - a|.
• Длина стороны BC = 5.

Периметр P прямоугольника можно вычислить по формуле:

P = 2 * (длина + ширина).

Подставим известные значения:

40 = 2 * (|8 - a| + 5).

Теперь упростим это уравнение:

1. 40 = 2 * (|8 - a| + 5)
   делим обе стороны на 2:
   20 = |8 - a| + 5.
2. Теперь вычтем 5 из обеих сторон:
   20 - 5 = |8 - a|
   15 = |8 - a|.

Теперь мы можем решить это уравнение, учитывая, что модуль может принимать два значения:

1. 8 - a = 15
   a = 8 - 15 = -7.
2. 8 - a = -15
   a = 8 + 15 = 23.

Теперь у нас есть два возможных значения для a: -7 и 23. Однако, поскольку a должно быть в пределах y-координат точек B и D, мы можем выбрать только a = -7, так как 23 не подходит.

Теперь мы можем найти площадь прямоугольника:

Площадь S = длина * ширина = |8 - (-7)| * 5.

Теперь подставим значение:

S = |8 + 7| * 5 = 15 * 5 = 75.

Таким образом, площадь прямоугольника составляет 75 квадратных единиц.