2025-10-31 17:34:04
Андрей хочет согнуть прямоугольный каркас из куска проволоки длиной 60 см. Какими должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
Также, высота h (м) тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v0 (м/с) с высоты h0 (м), в зависимости от времени t (с) выражается формулой:
h = -gt²/2 + v0t + h0,
где g (м/с²) - ускорение свободного падения.
Какое время (в секундах) потребуется телу, брошенному вертикально вверх с высоты 3 м и начальной скоростью 14 м/с, чтобы опуститься обратно на землю? Примите ускорение свободного падения равным 10 м/с².
Математика 9 класс Оптимизация и движение по вертикали максимальная площадь прямоугольника каркас из проволоки sides прямоугольника высота тела формула высоты время падения тела начальная скорость ускорение свободного падения решение задачи по математике математика 9 класс Новый
2025-10-31 17:34:32
Давайте начнем с первой части задачи, где Андрей хочет согнуть прямоугольный каркас из проволоки длиной 60 см. Нам нужно найти такие размеры сторон прямоугольника, чтобы его площадь была максимальной.
Обозначим длину прямоугольника как x см, а ширину как y см. Поскольку периметр прямоугольника равен 60 см, мы можем записать уравнение:
- 2x + 2y = 60
Упрощая, получаем:
- x + y = 30
Теперь выразим одну из переменных через другую. Например, выразим y:
- y = 30 - x
Теперь можем записать площадь S прямоугольника:
- S = x * y = x * (30 - x) = 30x - x²
Это квадратная функция, и чтобы найти ее максимум, мы можем использовать метод нахождения производной. Найдем производную площади S по x:
- S' = 30 - 2x
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критическую точку:
- 30 - 2x = 0
- 2x = 30
- x = 15
Теперь подставим значение x в уравнение для y:
- y = 30 - 15 = 15
Таким образом, стороны прямоугольника, при которых площадь будет максимальной, равны:
- Длина: 15 см
- Ширина: 15 см
Это означает, что Андрей должен сделать квадрат со сторонами по 15 см.
Теперь перейдем ко второй части задачи, где нам нужно найти время, за которое тело, брошенное вертикально вверх, вернется обратно на землю. Используем формулу:
- h = -gt²/2 + v0t + h0
Здесь g = 10 м/с², h0 = 3 м, и v0 = 14 м/с. Поскольку мы ищем время, когда тело вернется на землю, подставим h = 0:
- 0 = -10t²/2 + 14t + 3
Упрощаем уравнение:
- 0 = -5t² + 14t + 3
Теперь умножим все уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:
- 0 = 5t² - 14t - 3
Теперь используем формулу для решения квадратного уравнения:
- t = [ -b ± √(b² - 4ac) ] / 2a
Где a = 5, b = -14, c = -3. Подставляем значения:
- t = [14 ± √((-14)² - 4 * 5 * (-3))] / (2 * 5)
- t = [14 ± √(196 + 60)] / 10
- t = [14 ± √256] / 10
- t = [14 ± 16] / 10
Теперь решим для двух случаев:
- t1 = (14 + 16) / 10 = 30 / 10 = 3 сек
- t2 = (14 - 16) / 10 = -2 / 10 = -0.2 сек (не подходит, так как время не может быть отрицательным)
Таким образом, время, за которое тело вернется обратно на землю, составляет:
- 3 секунды