Для нахождения функции f(x), которая удовлетворяет уравнению f(x) + 2f(1/x) = x, начнем с анализа данного уравнения.

Шаг 1: Подставим в уравнение значение x = 1.

• Получим: f(1) + 2f(1) = 1.
• Это упрощается до: 3f(1) = 1.
• Следовательно, f(1) = 1/3.

Шаг 2: Теперь подставим в уравнение значение x = 1/x, что дает нам f(1/x) + 2f(x) = 1/x.

• Теперь у нас есть две системы уравнений:
• 1) f(x) + 2f(1/x) = x
• 2) f(1/x) + 2f(x) = 1/x

Шаг 3: Умножим второе уравнение на 2:

• Получим: 2f(1/x) + 4f(x) = 2/x.

Шаг 4: Теперь выразим f(1/x) из первого уравнения:

• Из первого уравнения: 2f(1/x) = x - f(x).

Шаг 5: Подставим это значение во второе уравнение:

• x - f(x) + 4f(x) = 2/x.
• Упрощаем: x + 3f(x) = 2/x.
• Отсюда: 3f(x) = 2/x - x.
• Следовательно, f(x) = (2/x - x) / 3.

Шаг 6: Упростим найденное выражение:

• f(x) = (2 - x^2) / (3x).

Таким образом, мы нашли функцию: f(x) = (2 - x^2) / (3x).

Шаг 7: Проверим, удовлетворяет ли наша функция исходному уравнению:

• Подставим f(x) и f(1/x) в уравнение:
• f(1/x) = (2 - (1/x)^2) / (3 * (1/x)) = (2x^2 - 1) / 3.
• Теперь проверим: f(x) + 2f(1/x) = (2 - x^2) / (3x) + 2 * (2x^2 - 1) / 3.
• Упрощая, мы должны получить x.

Таким образом, функция f(x) = (2 - x^2) / (3x) является правильным решением.