Чтобы доказать, что в ряду натуральных чисел, который Леша выписывает, рано или поздно появятся 100 чисел, имеющих общий делитель, больший 1, рассмотрим следующий подход.

Шаг 1: Определим структуру ряда чисел.

Леша выписывает числа, начиная с некоторого натурального числа и добавляя к нему 1, 2 или 3. Это означает, что каждое следующее число может быть получено из предыдущего путем прибавления одного из трех возможных значений. Таким образом, мы можем записать ряд чисел в виде:

• a, a+1, a+2, a+3, a+4, a+5, ...

Шаг 2: Рассмотрим остатки при делении на 3.

Поскольку каждое число в ряду может быть получено путем прибавления 1, 2 или 3, давайте посмотрим на остатки этих чисел при делении на 3. Остатки могут быть следующими:

• 0 (число делится на 3),
• 1 (число дает остаток 1 при делении на 3),
• 2 (число дает остаток 2 при делении на 3).

Таким образом, любые три последовательных числа в этом ряду будут иметь остатки 0, 1 и 2 при делении на 3.

Шаг 3: Появление чисел с одинаковым остатком.

Теперь, если мы продолжим записывать числа, то рано или поздно среди них появится множество чисел, которые будут иметь одинаковый остаток при делении на 3. Например, если у нас есть 100 чисел, то по принципу Дирихле (или принципу ящиков) мы можем утверждать, что среди них как минимум 34 числа будут иметь одинаковый остаток при делении на 3. Это происходит потому, что 100 чисел распределяются по 3 остаткам.

Шаг 4: Общий делитель.

Если у нас есть 34 числа, которые имеют одинаковый остаток при делении на 3, то все эти числа можно представить в виде:

• 3k, 3k+1, 3k+2, где k - целое число.

Следовательно, все 34 числа, имеющие одинаковый остаток, будут делиться на 3, что означает, что у них есть общий делитель, равный 3, который больше 1.

Шаг 5: Заключение.

Таким образом, мы можем утверждать, что в ряду натуральных чисел, который Леша выписывает, рано или поздно появятся 100 чисел, имеющих общий делитель, больший 1. Это происходит благодаря тому, что числа, записанные Лешей, будут образовывать группы с одинаковыми остатками при делении на 3, и среди них всегда найдется достаточно много чисел с общим делителем.