Для доказательства тождества cos(a+b)cos(a-b) = cos²a - sin²b мы можем использовать формулы косинуса суммы и разности. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Запишем формулы для косинуса суммы и разности:
   • cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
   • cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
2. Теперь подставим эти формулы в левую часть тождества:
   • cos(a+b)cos(a-b) = (cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b))(cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b))
3. Используем формулу разности квадратов:
   • Это выражение можно упростить до: (cos(a)cos(b))² - (sin(a)sin(b))²
4. Теперь запишем каждую часть:
   • (cos(a)cos(b))² = cos²(a)cos²(b)
   • (sin(a)sin(b))² = sin²(a)sin²(b)
5. Теперь подставим эти значения в уравнение:
   • cos(a+b)cos(a-b) = cos²(a)cos²(b) - sin²(a)sin²(b)
6. Теперь мы можем использовать тригонометрические тождества:
   • sin²(b) = 1 - cos²(b)
7. Подставим это значение:
   • cos²(a)cos²(b) - sin²(a)(1 - cos²(b))
8. Раскроем скобки:
   • cos²(a)cos²(b) - sin²(a) + sin²(a)cos²(b)
9. Теперь объединим подобные слагаемые:
   • (cos²(a) + sin²(a))cos²(b) - sin²(a)
10. Используем основное тригонометрическое тождество:
    • cos²(a) + sin²(a) = 1
11. После подстановки получаем:
    • 1 * cos²(b) - sin²(a) = cos²(b) - sin²(a)

Таким образом, мы доказали, что cos(a+b)cos(a-b) = cos²(a) - sin²(b). Это и есть искомое тождество.