Как можно обосновать неравенство: (2a-4)(3a+2)-(2a-5)^2 > 3(-12+4a)?

Математика 9 класс Неравенства неравенство решение неравенств математика 9 класс алгебра обоснование неравенства математические выражения квадратные выражения метод решения неравенств Новый

Чтобы обосновать неравенство (2a-4)(3a+2)-(2a-5)^2 > 3(-12+4a), давайте начнем с его упрощения. Мы будем работать с левой и правой частями неравенства по отдельности.

Шаг 1: Упростим левую часть неравенства

Левая часть неравенства выглядит как (2a-4)(3a+2)-(2a-5)^2. Давайте сначала раскроем скобки:

• Для первого произведения (2a-4)(3a+2):
  1. 2a * 3a = 6a^2
  2. 2a * 2 = 4a
  3. -4 * 3a = -12a
  4. -4 * 2 = -8

  Сложим все эти результаты: 6a^2 + 4a - 12a - 8 = 6a^2 - 8a - 8.

• Теперь раскроем второе произведение -(2a-5)^2:
  1. (2a-5)(2a-5) = 4a^2 - 20a + 25.
  2. Так как перед скобками стоит знак минус, мы получаем: -4a^2 + 20a - 25.

Теперь объединим обе части:

(6a^2 - 8a - 8) + (-4a^2 + 20a - 25) = (6a^2 - 4a^2) + (-8a + 20a) + (-8 - 25) = 2a^2 + 12a - 33.

Шаг 2: Упростим правую часть неравенства

Теперь упростим правую часть неравенства: 3(-12 + 4a).

• 3 * -12 = -36
• 3 * 4a = 12a

Таким образом, правая часть равна 12a - 36.

Шаг 3: Сравниваем обе части

Теперь у нас есть неравенство:

2a^2 + 12a - 33 > 12a - 36.

Переносим все элементы на одну сторону:

2a^2 + 12a - 33 - 12a + 36 > 0.

Упрощаем:

2a^2 + 3 > 0.

Шаг 4: Анализируем полученное неравенство

Неравенство 2a^2 + 3 > 0 всегда верно, так как 2a^2 - это квадрат, который всегда неотрицателен, а 3 - положительное число. Следовательно, сумма всегда положительна.

Заключение:

Таким образом, неравенство (2a-4)(3a+2)-(2a-5)^2 > 3(-12+4a) выполняется для всех значений a. Мы обосновали это, упростив обе части неравенства и показав, что полученное неравенство всегда истинно.