Как можно приблизительно вычислить 1,02 в степени 3,05, используя при этом дифференциал для замены приращения функции?

Математика 9 класс Дифференциальное исчисление приближенное вычисление дифференциал функции степень математика 9 класс 1,02 в степени 3,05 Новый

Чтобы приблизительно вычислить 1,02 в степени 3,05, мы можем использовать метод дифференциалов. Этот метод основан на линейном приближении функции в окрестности некоторой точки. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Определим функцию:

   Мы будем работать с функцией f(x) = a^x, где a = 1,02 и x = 3,05.

2. Выберем точку для линейного приближения:

   Удобно взять x = 3, так как это ближайшее целое число к 3,05.

3. Найдем производную функции:

   Производная функции f(x) = a^x равна f'(x) = a^x * ln(a). В нашем случае:

   • f'(x) = 1,02^x * ln(1,02).
4. Вычислим значение производной в точке x = 3:

   Теперь подставим x = 3 в производную:

   • f'(3) = 1,02^3 * ln(1,02).
   • Сначала найдем 1,02^3:
   • 1,02^3 ≈ 1,061208.
   • Теперь найдем ln(1,02). Приблизительно это равно 0,019803.
   • Таким образом, f'(3) ≈ 1,061208 * 0,019803 ≈ 0,021052.
5. Вычислим приращение:

   Теперь мы можем использовать значение производной для нахождения приращения функции:

   • Δx = 3,05 - 3 = 0,05.
   • Δf ≈ f'(3) * Δx = 0,021052 * 0,05 ≈ 0,0010526.
6. Приблизительное значение функции:

   Теперь мы можем найти приближенное значение функции f(3,05):

   • f(3) = 1,02^3 ≈ 1,061208.
   • f(3,05) ≈ f(3) + Δf ≈ 1,061208 + 0,0010526 ≈ 1,0622606.

Таким образом, мы получили, что 1,02 в степени 3,05 приблизительно равно 1,0623. Этот метод позволяет нам быстро оценить значение, используя дифференциалы и линейное приближение.