Как можно проанализировать функцию y=2+5x^3-3x^5, найти её точки экстремума и выполнить другие необходимые исследования?

Математика 9 класс Исследование функций анализ функции точки экстремума y=2+5x^3-3x^5 математические исследования производные функции график функции исследование функции Новый

Чтобы проанализировать функцию y = 2 + 5x^3 - 3x^5, найдем её точки экстремума и выполним другие необходимые исследования. Рассмотрим следующие шаги:

1. Найдем производную функции:

   Для начала, найдем первую производную функции y по x. Это позволит нам определить, где функция возрастает или убывает, а также найти точки экстремума.

   Первая производная будет равна:

   y' = d(2)/dx + d(5x^3)/dx - d(3x^5)/dx = 0 + 15x^2 - 15x^4 = 15x^2(1 - x^2).

2. Найдем критические точки:

   Критические точки находятся при равенстве производной нулю:

   15x^2(1 - x^2) = 0.

   Это уравнение равно нулю, когда:

   • 15x^2 = 0 (x = 0),
   • 1 - x^2 = 0 (x = 1 и x = -1).

   Таким образом, критические точки: x = -1, 0, 1.

3. Исследуем знаки производной:

   Теперь нужно определить, где функция возрастает или убывает. Для этого проверим знак первой производной на интервалах, образованных критическими точками:

   • Интервал (-∞, -1): выберем x = -2. y'(-2) = 15(-2)^2(1 - (-2)^2) < 0 (функция убывает).
   • Интервал (-1, 0): выберем x = -0.5. y'(-0.5) = 15(-0.5)^2(1 - (-0.5)^2) > 0 (функция возрастает).
   • Интервал (0, 1): выберем x = 0.5. y'(0.5) = 15(0.5)^2(1 - (0.5)^2) > 0 (функция возрастает).
   • Интервал (1, ∞): выберем x = 2. y'(2) = 15(2)^2(1 - (2)^2) < 0 (функция убывает).

   Таким образом, мы имеем:

   • Функция убывает на интервале (-∞, -1).
   • Функция возрастает на интервале (-1, 1).
   • Функция убывает на интервале (1, ∞).
4. Определим типы экстремумов:

   Теперь мы можем определить, что:

   • В точке x = -1 функция имеет максимум (переход от убывания к возрастанию).
   • В точке x = 1 функция имеет минимум (переход от возрастания к убыванию).
5. Найдем значения функции в критических точках:

   Теперь найдем значения функции в этих точках:

   • y(-1) = 2 + 5(-1)^3 - 3(-1)^5 = 2 - 5 + 3 = 0.
   • y(0) = 2 + 5(0)^3 - 3(0)^5 = 2.
   • y(1) = 2 + 5(1)^3 - 3(1)^5 = 2 + 5 - 3 = 4.
6. Итоги:

   Мы нашли, что:

   • Точка максимума: (-1, 0).
   • Точка минимума: (1, 4).

   Функция возрастает на интервале (-1, 1) и убывает на интервалах (-∞, -1) и (1, ∞).

Таким образом, мы выполнили анализ функции y = 2 + 5x^3 - 3x^5 и нашли её точки экстремума.