Как можно вычислить площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, если длина медианы, проведенной на гипотенузу, равна 4?

Математика 9 класс Площадь треугольника площадь равнобедренного треугольника длина медианы гипотенуза формула площади задачи по математике 9 класс Новый

Чтобы вычислить площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, зная длину медианы, проведенной на гипотенузу, воспользуемся следующими шагами:

1. Определим свойства треугольника:
   • Равнобедренный прямоугольный треугольник имеет два равных катета и один прямой угол.
   • Длина гипотенузы в таком треугольнике равна катетам, умноженным на корень из 2.
2. Используем формулу для медианы:
   • Медиана, проведенная на гипотенузу, делит ее пополам и соединяет с вершиной, противоположной гипотенузе.
   • Длина медианы (m) в прямоугольном треугольнике может быть найдена по формуле: m = 1/2 * √(2a² + 2b² - c²), где a и b - катеты, c - гипотенуза.
   • В нашем случае, так как треугольник равнобедренный и прямоугольный, a = b.
   • Таким образом, гипотенуза c = a√2.
3. Подставим значения в формулу:
   • Теперь подставим a = b в формулу для медианы: m = 1/2 * √(2a² + 2a² - (a√2)²).
   • Упростим выражение: m = 1/2 * √(4a² - 2a²) = 1/2 * √(2a²) = 1/2 * a√2.
4. Установим значение медианы:
   • Мы знаем, что длина медианы равна 4, то есть: 1/2 * a√2 = 4.
   • Умножим обе стороны на 2: a√2 = 8.
   • Теперь разделим обе стороны на √2: a = 8/√2 = 4√2.
5. Вычислим площадь треугольника:
   • Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле: S = (1/2) * a * b.
   • Так как a = b, то S = (1/2) * a².
   • Подставим значение a: S = (1/2) * (4√2)² = (1/2) * 32 = 16.

Ответ: Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна 16 квадратных единиц.