Как решить уравнение X² + 4X - 5 = 0 и объяснить, почему так получилось?

Математика 9 класс Квадратные уравнения уравнение решение X² + 4X - 5 = 0 математика квадратное уравнение объяснение корни уравнения формула корней дискриминант алгебра Новый

Для решения квадратного уравнения X² + 4X - 5 = 0 мы можем использовать метод выделения полного квадрата или формулу корней квадратного уравнения. Давайте рассмотрим оба метода.

Метод 1: Формула корней квадратного уравнения

Квадратное уравнение имеет вид:

AX² + BX + C = 0

где A = 1, B = 4, C = -5.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

X = (-B ± √(B² - 4AC)) / (2A)

Шаги решения:

1. Сначала найдем дискриминант (D):
• D = B² - 4AC = 4² - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.
2. Теперь подставим значения в формулу:
• X = (-4 ± √36) / (2 * 1) = (-4 ± 6) / 2.
3. Теперь найдем два корня:
• X₁ = (-4 + 6) / 2 = 2 / 2 = 1,
• X₂ = (-4 - 6) / 2 = -10 / 2 = -5.

Таким образом, корни уравнения X² + 4X - 5 = 0 равны X₁ = 1 и X₂ = -5.

Метод 2: Выделение полного квадрата

Также можно решить уравнение, выделив полный квадрат:

Шаги решения:

1. Перепишем уравнение:
• X² + 4X = 5.
2. Теперь добавим и вычтем (B/2)², где B = 4:
• (4/2)² = 4.
3. Таким образом, уравнение становится:
• X² + 4X + 4 = 5 + 4.
4. Теперь у нас есть полный квадрат:
• (X + 2)² = 9.
5. Теперь извлечем корень из обеих сторон:
• X + 2 = ±3.
6. Решим полученные уравнения:
• X₁ = 3 - 2 = 1,
• X₂ = -3 - 2 = -5.

Таким образом, мы снова получили те же корни: X₁ = 1 и X₂ = -5.

Почему так получилось?

Квадратное уравнение имеет два решения (корня), так как его график представляет собой параболу, которая может пересекаться с осью X в двух точках, в одной точке или не пересекаться вообще. В нашем случае, поскольку дискриминант положителен (D = 36), это означает, что у уравнения есть два различных действительных корня.