Какое среднее количество изюминок должно быть в булочке, чтобы с вероятностью 0,99 каждая булочка имела хотя бы одну изюминку? (Предполагается, что количество изюминок в булочках распределено по закону Пуассона)

Математика 9 класс Законы распределения вероятностей среднее количество изюминок булочка с изюминками закон Пуассона вероятность 0,99 математика 9 класс Новый

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся с распределением Пуассона и тем, как оно связано с вероятностью. Распределение Пуассона часто используется для моделирования количества событий, происходящих в фиксированном интервале времени или пространства, когда эти события происходят с известной средней частотой и независимо друг от друга.

В данном случае мы хотим, чтобы с вероятностью 0,99 каждая булочка имела хотя бы одну изюминку. Это можно записать следующим образом:

• Обозначим среднее количество изюминок в булочке как λ (лямбда).
• Вероятность того, что в булочке будет 0 изюминок, можно вычислить по формуле для распределения Пуассона:

Вероятность того, что в булочке будет 0 изюминок:

P(X = 0) = e^(-λ),

где e - это основание натурального логарифма.

Теперь, чтобы булочка имела хотя бы одну изюминку, нужно, чтобы:

P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - e^(-λ) ≥ 0,99.

Это равенство можно переписать:

1 - e^(-λ) ≥ 0,99.

Теперь решим это неравенство:

1. Переносим e^(-λ) на другую сторону:
2. e^(-λ) ≤ 0,01.
3. Теперь применим натуральный логарифм к обеим сторонам неравенства:

Получаем:

-λ ≤ ln(0,01).

Из этого неравенства следует, что:

λ ≥ -ln(0,01).

Теперь вычислим значение ln(0,01):

ln(0,01) = ln(1/100) = ln(1) - ln(100) = 0 - 4.605 ≈ -4.605.

Следовательно:

λ ≥ 4.605.

Таким образом, чтобы с вероятностью 0,99 каждая булочка имела хотя бы одну изюминку, среднее количество изюминок в булочке должно быть не менее 4.605.

Так как мы обычно говорим о целых числах изюминок, мы можем округлить это значение до ближайшего целого числа. Поэтому ответ:

λ должно быть не менее 5.