Какова область значений функции  𝑦 = 𝑥² / (2𝑥 − 48)  на отрезке  [ − 5 ; 7 ] ?

Математика 9 класс Область значений функции область значений функция y = x² / (2x - 48) отрезок [-5; 7] математика 9 класс анализ функции рациональная функция график функции Новый

Чтобы найти область значений функции y = x² / (2x - 48) на отрезке [−5; 7], необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберемся, как это сделать.

1. Определим область определения функции. Функция имеет вид дроби, и знаменатель не должен равняться нулю. Поэтому решим уравнение 2x - 48 = 0:
• 2x = 48
• x = 24

Таким образом, x = 24 - это точка, в которой функция не определена. Но поскольку отрезок [−5; 7] не включает 24, функция определена на всём этом отрезке.

2. Найдем значения функции на концах отрезка. Подставим x = −5 и x = 7 в функцию:
• Для x = −5: y = (−5)² / (2(−5) - 48) = 25 / (−10 - 48) = 25 / (−58) = −25/58
• Для x = 7: y = 7² / (2*7 - 48) = 49 / (14 - 48) = 49 / (−34) = −49/34
3. Исследуем функцию на промежутке [−5; 7]. Для нахождения экстремумов функции, найдем производную:
• y' = [(2x)(2x - 48) - x²(2)] / (2x - 48)²
• y' = (4x² - 96x - 2x²) / (2x - 48)² = (2x² - 96x) / (2x - 48)²

Приравняем числитель к нулю, чтобы найти критические точки:

• 2x² - 96x = 0
• 2x(x - 48) = 0
• x = 0 или x = 48

Из этих точек только x = 0 попадает в отрезок [−5; 7]. Подставим x = 0 в функцию:

• y = 0² / (2*0 - 48) = 0 / (−48) = 0
4. Определим область значений функции. Мы нашли значения функции на концах отрезка и в критической точке:
• y(−5) = −25/58
• y(0) = 0
• y(7) = −49/34

Таким образом, область значений функции на отрезке [−5; 7] будет от минимального значения до максимального: от −49/34 до 0.

Итак, область значений функции на данном отрезке: [−49/34; 0].