Давайте обозначим два натуральных числа как x и y. По условию задачи у нас есть две основные информации:

• Разность между числами: x - y = 13
• Сумма квадратов этих чисел: x² + y² = 565

Теперь решим эту систему уравнений шаг за шагом.

1. Из первого уравнения выразим одно число через другое:
• Из уравнения x - y = 13 можно выразить x:
• x = y + 13
2. Подставим найденное значение x во второе уравнение:
• Теперь у нас есть уравнение:
• (y + 13)² + y² = 565
• Раскроем скобки:
• y² + 26y + 169 + y² = 565
• Соберем все слагаемые:
• 2y² + 26y + 169 - 565 = 0
• Упростим уравнение:
• 2y² + 26y - 396 = 0
3. Разделим уравнение на 2 для упрощения:
• y² + 13y - 198 = 0
4. Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
• Дискриминант D = b² - 4ac = 13² - 4 * 1 * (-198)
• D = 169 + 792 = 961
• Теперь найдем корни уравнения:
• y = (-b ± √D) / (2a) = (-13 ± √961) / 2
• √961 = 31, поэтому:
• y = (-13 + 31) / 2 = 18 / 2 = 9
• или
• y = (-13 - 31) / 2 = -44 / 2 = -22 (не подходит, так как y должно быть натуральным)
5. Теперь подставим найденное значение y обратно, чтобы найти x:
• x = y + 13 = 9 + 13 = 22

Таким образом, два натуральных числа:

• Меньшее число: 9
• Большое число: 22

Ответ: меньшее число - 9, большее число - 22.