Каковы свойства выражения (Cos x - sin x) в квадрате?

Математика 9 класс Свойства тригонометрических функций и их преобразования свойства выражения cos x sin x квадрат выражения математика 9 класс Новый

Чтобы изучить свойства выражения (cos x - sin x) в квадрате, начнем с его раскрытия. Рассмотрим выражение:

(cos x - sin x)^2

Для раскрытия квадратного выражения воспользуемся формулой (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, где a = cos x и b = sin x. Таким образом, мы можем записать:

1. cos^2 x - 2 * cos x * sin x + sin^2 x

Теперь давайте упростим это выражение. Мы знаем, что:

cos^2 x + sin^2 x = 1

Это основное тригонометрическое тождество. Подставим его в наше выражение:

1. (cos^2 x + sin^2 x) - 2 * cos x * sin x = 1 - 2 * cos x * sin x

Теперь у нас есть упрощенное выражение:

(cos x - sin x)^2 = 1 - 2 * cos x * sin x

Теперь рассмотрим свойства этого выражения:

• Неположительность: Поскольку (cos x - sin x)^2 всегда неотрицательно (квадрат любого числа не может быть отрицательным), мы можем сказать, что выражение всегда больше или равно нулю.
• Минимальное значение: Минимальное значение (cos x - sin x)^2 достигается, когда cos x = sin x, то есть при x = π/4 + kπ, где k - целое число. В этом случае выражение равно 0.
• Максимальное значение: Выражение (cos x - sin x)^2 может принимать значения, которые зависят от значений cos x и sin x, но в любом случае оно ограничено сверху, так как 1 - 2 * cos x * sin x имеет максимальное значение при определенных значениях x.

Таким образом, мы изучили свойства выражения (cos x - sin x)^2, его минимальные и максимальные значения, а также его неположительность.