Для решения задачи необходимо найти значение х, при котором вся работа будет выполнена за наименьшее время.

Пусть х — это разница в производительности между второй и первой бригадами. Тогда производительность второй бригады будет равна (200 – х) деталей в день, а производительность третьей бригады — (200 + 6х) деталей в день.

Сначала первая и вторая бригады, работая вместе, выполняют (400 – х) деталей в день. Затем все три бригады, работая вместе, выполняют (600 + 5х) деталей в день.

Вся работа равна Р деталей.

1. Сначала первая и вторая бригады выполняют Р/6 работы. На это они затрачивают Р/6(400 – х) времени.

2. Затем все три бригады выполняют 5Р/6 работы. На это они затрачивают 5Р/6(600 + 5х) времени.

Общее время выполнения работы равно:

Р/6(400 – х) + 5Р/6(600 + 5х).

Чтобы найти минимальное время выполнения работы, нужно найти максимальное значение этого выражения.

Для этого нужно найти максимальное значение квадратного трёхчлена (400 – х)(600 + 5х).

Квадратный трёхчлен достигает своего максимального значения в вершине параболы.

Вершина параболы имеет координаты (140; 154 000).

Значит, максимальное значение квадратного трёхчлена равно 154 000.

Максимальное значение квадратного трёхчлена (400 – х)(600 + 5х) равно максимальному значению выражения Р/6(400 – х) + 5Р/6(600 + 5х).

Значит, минимальное время выполнения работы равно 154 000/Р.

Ответ: минимальное время выполнения работы равно 154 000/Р, при этом х = 140.

Примечание:

В решении задачи допущена ошибка. Производительность второй бригады не может быть меньше нуля.

Поэтому значение х должно быть больше нуля.

При х = 140 производительность второй бригады равна 20, а производительность третьей бригады равна 1320.

Тогда минимальное время выполнения работы равно 154 000/Р, при этом х = 140.