Давайте начнем с решения задачи по шагам.

1. Найдем уравнение линии BC.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки, используем формулу для нахождения углового коэффициента (k):

1. Сначала определим координаты точек B и C:
   • B(-5, 2)
   • C(-2, 3)
2. Найдем угловой коэффициент k: k = (y2 - y1) / (x2 - x1)
   • y2 = 3, y1 = 2
   • x2 = -2, x1 = -5
   • k = (3 - 2) / (-2 + 5) = 1 / 3
3. Теперь найдем уравнение прямой в виде y = kx + b. Подставим координаты точки B: 2 = (1/3)(-5) + b
   • 2 = -5/3 + b
   • b = 2 + 5/3 = 6/3 + 5/3 = 11/3
4. Теперь у нас есть угловой коэффициент и свободный член, уравнение прямой BC: y = (1/3)x + 11/3

2. Найдем уравнение высоты AK.

Высота AK опущена из точки A(1, -1) на прямую BC. Сначала найдем уравнение прямой, перпендикулярной BC и проходящей через A.

1. Угловой коэффициент перпендикулярной прямой: k_perp = -1/k = -3
2. Уравнение прямой AK в виде y = k_perp * x + b. Подставим координаты точки A: -1 = -3(1) + b
   • -1 = -3 + b
   • b = 2
3. Уравнение высоты AK: y = -3x + 2

3. Найдем длину высоты AK.

Для нахождения длины высоты нам нужно найти точку K, где высота пересекает прямую BC. Подставим уравнение высоты в уравнение прямой BC:

1. Подставим y из AK в уравнение BC: -3x + 2 = (1/3)x + 11/3
2. Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дроби: -9x + 6 = x + 11
3. Переносим все x на одну сторону: -10x = 5
4. Находим x: x = -1/2
5. Теперь подставим x в уравнение AK, чтобы найти y: y = -3(-1/2) + 2 = 3/2 + 2 = 7/2
6. Таким образом, координаты точки K: K(-1/2, 7/2)

Теперь найдем длину отрезка AK:

1. Используем формулу расстояния между двумя точками: d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
2. Подставляем координаты A(1, -1) и K(-1/2, 7/2): d = √((-1/2 - 1)² + (7/2 + 1)²)
3. Считаем:
   • -1/2 - 1 = -3/2
   • 7/2 + 1 = 9/2
   • d = √((3/2)² + (9/2)²) = √(9/4 + 81/4) = √(90/4) = √(45) = 3√5/2

4. Найдем углы треугольника ABC.

Для нахождения углов треугольника ABC будем использовать формулу для нахождения угла по координатам:

1. Угол A: cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)
   • где a = BC, b = AC, c = AB
2. Найдем длины сторон:
   • a = √((-5 + 2)² + (2 - 3)²) = √(9 + 1) = √10
   • b = √((1 + 5)² + (-1 - 2)²) = √(36 + 9) = √45
   • c = √((1 + 2)² + (-1 - 3)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
3. Теперь подставим значения: cos A = (√45² + 5² - √10²) / (2 * √45 * 5)

Таким образом, мы нашли уравнение линии BC, уравнение и длину высоты AK, а также углы треугольника ABC. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!