Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2 и y = (x - 2)^2 + 1, мы сначала должны найти точки пересечения этих двух графиков. Это поможет нам определить границы интегрирования.

1. Найдем точки пересечения:
2. Приравняем уравнения:
• 2 = (x - 2)^2 + 1
3. Решим это уравнение:
• 2 - 1 = (x - 2)^2
• 1 = (x - 2)^2
• Теперь извлечем квадратный корень:
• x - 2 = ±1
• Таким образом, получаем два значения:
• x - 2 = 1 ⇒ x = 3
• x - 2 = -1 ⇒ x = 1
4. Итак, точки пересечения находятся в x = 1 и x = 3.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями, используя интеграл.

1. Запишем интеграл для площади:
• Площадь = ∫ от 1 до 3 (верхняя функция - нижняя функция) dx
• В данном случае верхняя функция - это y = 2, а нижняя - y = (x - 2)^2 + 1.
2. Таким образом, площадь можно записать как:
• Площадь = ∫ от 1 до 3 (2 - ((x - 2)^2 + 1)) dx
3. Упростим выражение под интегралом:
• Площадь = ∫ от 1 до 3 (2 - (x - 2)^2 - 1) dx
• Площадь = ∫ от 1 до 3 (1 - (x - 2)^2) dx

Теперь вычислим интеграл:

1. Вычислим интеграл:
• Для этого сначала найдем интеграл от (1 - (x - 2)^2):
• Интеграл от 1 равен x, а интеграл от (x - 2)^2 равен (1/3)(x - 2)^3.
2. Таким образом, интеграл будет выглядеть так:
• ∫(1 - (x - 2)^2) dx = x - (1/3)(x - 2)^3 + C
3. Теперь подставим пределы интегрирования от 1 до 3:
• Площадь = [x - (1/3)(x - 2)^3] от 1 до 3

Теперь подставим верхний и нижний пределы:

1. Подставляем x = 3:
• 3 - (1/3)(3 - 2)^3 = 3 - (1/3)(1) = 3 - 1/3 = 8/3
2. Подставляем x = 1:
• 1 - (1/3)(1 - 2)^3 = 1 - (1/3)(-1) = 1 + 1/3 = 4/3
3. Теперь найдем разность:
• Площадь = (8/3) - (4/3) = 4/3.

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2 и y = (x - 2)^2 + 1, равна 4/3 квадратных единиц.