При каких значениях параметра a уравнение ax^2 + (2a+1)x + 1 + a = 0 имеет два корня, которые имеют разные знаки?

Математика 9 класс Уравнения с параметром уравнение математика корни параметры ax^2 разные знаки значения a два корня квадратное уравнение Новый

Чтобы определить, при каких значениях параметра a квадратное уравнение ax^2 + (2a + 1)x + (1 + a) = 0 имеет два корня с разными знаками, нам нужно выполнить несколько шагов.

Во-первых, у нас есть квадратное уравнение вида Ax^2 + Bx + C = 0, где:

• A = a
• B = 2a + 1
• C = 1 + a

Для того чтобы уравнение имело два различных корня, необходимо, чтобы дискриминант был положительным. Дискриминант D вычисляется по формуле:

D = B^2 - 4AC

Подставим значения A, B и C:

D = (2a + 1)^2 - 4 a (1 + a)

Теперь упростим дискриминант:

1. Вычислим (2a + 1)^2:
• (2a + 1)(2a + 1) = 4a^2 + 4a + 1
2. Вычислим 4 * a * (1 + a):
• 4a * (1 + a) = 4a + 4a^2
3. Теперь подставим в формулу для D:
• D = 4a^2 + 4a + 1 - (4a + 4a^2) = 4a^2 + 4a + 1 - 4a - 4a^2
4. Упростим:
• D = 1

Так как D = 1 является положительным числом, уравнение всегда имеет два различных корня для любого значения a, при условии что a не равно 0 (так как при a = 0 уравнение становится линейным).

Теперь нам нужно проверить, при каких значениях a корни имеют разные знаки. Для этого используем правило о знаках корней квадратного уравнения:

Корни имеют разные знаки, если:

A * C < 0

Подставим значения A и C:

a * (1 + a) < 0

Теперь решим это неравенство:

1. Рассмотрим два случая:
• 1. a < 0 и 1 + a > 0 (то есть a > -1)
• 2. a > 0 и 1 + a < 0 (то есть a < -1)

Первый случай: -1 < a < 0.

Во втором случае не может быть, так как 1 + a не может быть отрицательным при положительном a.

Таким образом, единственный интервал, при котором уравнение имеет два корня с разными знаками:

-1 < a < 0

В заключение, уравнение ax^2 + (2a + 1)x + (1 + a) = 0 имеет два корня с разными знаками при значениях параметра a из интервала (-1, 0).