Для решения уравнения tgx - 4ctgx = 3, начнем с того, что вспомним, что cotg (котангенс) - это обратная функция к тангенсу:

cotg x = 1/tg x

Подставим это в наше уравнение:

tgx - 4(1/tgx) = 3

Теперь умножим обе стороны уравнения на tgx, чтобы избавиться от дроби (при условии, что tgx не равен нулю):

tg²x - 4 = 3tgx

Перепишем уравнение в стандартной форме:

tg²x - 3tgx - 4 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы корней:

tgx = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 1, b = -3, c = -4. Подставим эти значения в формулу:

1. Сначала найдем дискриминант: D = b² - 4ac = (-3)² - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25
2. Теперь подставим дискриминант в формулу корней:
3. tgx = (3 ± √25) / 2 = (3 ± 5) / 2

Теперь найдем два возможных значения для tgx:

1. tgx₁ = (3 + 5) / 2 = 8 / 2 = 4
2. tgx₂ = (3 - 5) / 2 = -2 / 2 = -1

Теперь мы знаем, что:

tgx = 4 и tgx = -1

Теперь найдем x для каждого из этих значений:

• Для tgx = 4:
• x = arctg(4) + kπ, где k - любое целое число.
• Для tgx = -1:
• x = arctg(-1) + kπ = -π/4 + kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, общее решение уравнения tgx - 4ctgx = 3 будет:

x = arctg(4) + kπ и x = -π/4 + kπ, где k - любое целое число.