Сколько существует способов составить ожерелье с застёжкой из 7 бусинок разных цветов? Объясните, почему так получается.

Математика 9 класс Комбинаторика способы составить ожерелье ожерелье с застёжкой 7 бусинок разных цветов комбинаторика задача по математике решение задачи 9 класс Новый

Чтобы определить, сколько существует способов составить ожерелье с застёжкой из 7 бусинок разных цветов, нужно учесть несколько важных моментов.

Во-первых, ожерелье с застёжкой можно рассматривать как циклическую последовательность, так как его можно поворачивать. Это означает, что если мы просто переставим бусинки, не меняя их порядок, то это будет считаться тем же самым ожерельем. Однако, поскольку у нас есть застёжка, мы можем считать, что одно из мест уже зафиксировано.

Теперь давайте рассмотрим шаги, которые нам нужно сделать для подсчёта количества способов:

1. Подсчёт перестановок: Если бы у нас не было застёжки, и мы просто располагали бусинки в ряд, то количество способов размещения 7 разных бусинок равно 7! (факториал 7). Это будет равно 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040.
2. Учитываем цикличность: Поскольку ожерелье можно поворачивать, мы должны разделить на количество бусинок, то есть на 7. Это связано с тем, что каждая перестановка будет повторяться 7 раз при поворотах. Таким образом, мы делим 5040 на 7, что даёт 720.
3. Учитываем симметрию: Если бы у нас не было застёжки, мы также должны были бы учитывать, что ожерелье можно перевернуть. Это означает, что каждая перестановка будет повторяться ещё раз, и мы должны делить на 2. Поэтому мы делим 720 на 2, что в итоге даёт 360.

Таким образом, количество способов составить ожерелье с застёжкой из 7 бусинок разных цветов составляет 360.