В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна 24, а площадь равна 72. Как найти меньший острый угол этого треугольника? Ответ запиши в градусах.

Математика 9 класс Прямоугольные треугольники и тригонометрия прямоугольный треугольник гипотенуза площадь острый угол 9 класс математика решение задачи Тригонометрия Новый

Для того чтобы найти меньший острый угол в прямоугольном треугольнике ABC, где гипотенуза AB равна 24, а площадь равна 72, давайте сначала вспомним формулу для площади прямоугольного треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

Площадь = (1/2) * a * b

где a и b - это катеты треугольника. В нашем случае, площадь равна 72, поэтому мы можем записать:

(1/2) * a * b = 72

Умножим обе стороны уравнения на 2:

a * b = 144

Теперь у нас есть произведение катетов. Также мы знаем, что по теореме Пифагора:

a^2 + b^2 = c^2

где c - это гипотенуза. В нашем случае c = 24, поэтому:

a^2 + b^2 = 24^2 = 576

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• 1) a * b = 144
• 2) a^2 + b^2 = 576

Из первого уравнения выразим b через a:

b = 144/a

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

a^2 + (144/a)^2 = 576

Умножим всё уравнение на a^2, чтобы избавиться от дроби:

a^4 - 576a^2 + 20736 = 0

Теперь сделаем замену: пусть x = a^2. Тогда уравнение примет вид:

x^2 - 576x + 20736 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-576)^2 - 4 * 1 * 20736

D = 331776 - 82944 = 248832

Теперь найдем корни уравнения:

x = (576 ± √248832) / 2

Вычислим корень из дискриминанта:

√248832 = 498.83 (приблизительно)

Теперь подставим это значение:

x1 = (576 + 498.83) / 2 ≈ 537.415

x2 = (576 - 498.83) / 2 ≈ 38.585

Теперь вернемся к переменной a:

a^2 = 537.415 или a^2 = 38.585

Теперь найдем a и b. Для этого найдем корни:

a ≈ √537.415 ≈ 23.2

a ≈ √38.585 ≈ 6.2

Теперь найдем соответствующие значения b:

Если a ≈ 23.2, то b = 144 / 23.2 ≈ 6.2.

Если a ≈ 6.2, то b = 144 / 6.2 ≈ 23.2.

Теперь у нас есть катеты a и b. Теперь можем найти угол α, используя тригонометрические функции. Например, используя тангенс:

tan(α) = a / b

Подставим значения:

tan(α) = 6.2 / 23.2 ≈ 0.267

Теперь найдем угол α:

α = arctan(0.267) ≈ 15°

Таким образом, меньший острый угол этого треугольника равен примерно 15 градусов.