Давайте обозначим гипотенузу треугольника как c, один катет как a, а другой катет как b.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие соотношения:

• Один катет на 1 см меньше: a = c - 1
• Другой катет на 8 см меньше гипотенузы: b = c - 8

Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

a² + b² = c²

Подставим выражения для a и b в это уравнение:

1. Подставляем a: (c - 1)²
2. Подставляем b: (c - 8)²

Теперь у нас есть следующее уравнение:

Раскроем скобки:

• (c - 1)² = c² - 2c + 1
• (c - 8)² = c² - 16c + 64

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

Соберем все части уравнения:

Переносим все на одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

Это упрощается до: c² - 18c + 65 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-18)² - 4 * 1 * 65 = 324 - 260 = 64

Корни уравнения находятся по формуле:

Подставляем значения:

• c = (18 ± √64) / 2
• c = (18 ± 8) / 2

Теперь находим два корня:

• c₁ = (18 + 8) / 2 = 26 / 2 = 13
• c₂ = (18 - 8) / 2 = 10 / 2 = 5

Поскольку гипотенуза не может быть меньше длины катетов, оставляем только положительное значение:

Таким образом, длина гипотенузы равна 13 см.