Для нахождения стороны АС в треугольнике ABC, где известны сторона AB и углы B и C, мы можем воспользоваться теоремой синусов. Давайте разберем шаги решения.

1. Определим угол A: Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, мы можем найти угол A:
• Угол A = 180° - угол B - угол C = 180° - 30° - 45° = 105°.
2. Применим теорему синусов: Теорема синусов гласит, что отношение длины стороны к синусу противолежащего угла в треугольнике одинаково для всех трех сторон. Запишем это в виде формулы:
• (AC / sin(B)) = (AB / sin(A))
3. Подставим известные значения:
• AB = 7√2 см, угол B = 30°, угол A = 105°.
• Теперь подставим значения в формулу:
• AC / sin(30°) = (7√2) / sin(105°).
4. Вычислим синусы:
• sin(30°) = 0.5.
• sin(105°) = sin(90° + 15°) = cos(15°). Для cos(15°) можно использовать формулу: cos(15°) = cos(45° - 30°) = cos(45°)cos(30°) + sin(45°)sin(30°).
• cos(45°) = √2/2, cos(30°) = √3/2, sin(45°) = √2/2, sin(30°) = 0.5.
• Таким образом, cos(15°) = (√2/2 * √3/2) + (√2/2 * 0.5) = (√6/4) + (√2/4) = (√6 + √2) / 4.
5. Подставим значения синусов обратно в уравнение:
• AC / 0.5 = (7√2) / ((√6 + √2) / 4).
• Теперь умножим обе стороны на 0.5:
• AC = 0.5 * (7√2) * (4 / (√6 + √2)).
• AC = (14√2) / (√6 + √2).
6. Упростим результат: Для упрощения можно умножить числитель и знаменатель на (√6 - √2) для рационализации:
• AC = (14√2 * (√6 - √2)) / ((√6 + √2)(√6 - √2)) = (14√2(√6 - √2)) / (6 - 2) = (14√2(√6 - √2)) / 4 = (7√2(√6 - √2)) / 2.

Таким образом, длина стороны AC равна (7√2(√6 - √2)) / 2 см.