2026-03-14 13:50:17
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) параболой y = x² + 1, прямыми x = -1 и x = 2, и осью Ox?
Математика 9 класс Площадь под графиком функции (определённый интеграл) Новый
2026-03-14 13:50:59
Рассмотрим фигуру, ограниченную кривой y = x^2 + 1, прямыми x = -1 и x = 2 и осью Ox.
-
Сначала проверим взаимное расположение кривых. Решим y = 0 для параболы: x^2 + 1 = 0. Корней нет, значит парабола лежит выше оси Ox (y > 0) на всём промежутке от x = -1 до x = 2.
-
Следовательно верхняя граница фигуры — y = x^2 + 1, нижняя — y = 0. Площадь вычисляется как определённый интеграл:
S = ∫_{x=-1}^{2} (x^2 + 1) dx.
-
Найдём первообразную: ∫(x^2 + 1) dx = (1/3)x^3 + x. Подставляем пределы:
[(1/3)x^3 + x]_{-1}^{2} = (1/3 * 8 + 2) - (1/3 * (-1) + (-1)) = (8/3 + 2) - (-1/3 - 1).
Вычислим: 8/3 + 2 = 14/3, а -1/3 - 1 = -4/3. Разность: 14/3 - (-4/3) = 18/3 = 6.
Ответ: площадь фигуры равна 6.