Для решения поставленных задач, давайте поэтапно разберём каждую из них.

1. Угол DAC

Для нахождения угла DAC, нам нужно использовать векторы. Сначала найдем векторы AD и AC:

• Вектор AD = D - A = (4 - 4, -8 - 1, 5 - 3) = (0, -9, 2)
• Вектор AC = C - A = (-2 - 4, -3 - 1, 0 - 3) = (-6, -4, -3)

Теперь мы можем использовать скалярное произведение векторов для нахождения угла между ними:

Скалярное произведение AD и AC:

AD * AC = 0 * (-6) + (-9) * (-4) + 2 * (-3) = 0 + 36 - 6 = 30

Теперь найдем длины векторов:

• |AD| = √(0^2 + (-9)^2 + 2^2) = √(0 + 81 + 4) = √85
• |AC| = √((-6)^2 + (-4)^2 + (-3)^2) = √(36 + 16 + 9) = √61

Теперь можем найти косинус угла DAC:

cos(DAC) = (AD * AC) / (|AD| * |AC|) = 30 / (√85 * √61)

Чтобы найти угол DAC, используем арккосинус:

DAC = arccos(30 / (√85 * √61)).

2. Площадь параллелограмма ABMC и высоты

Сначала найдем векторы AB и AC:

• Вектор AB = B - A = (7 - 4, 6 - 1, 0 - 3) = (3, 5, -3)
• Вектор AC = C - A = (-2 - 4, -3 - 1, 0 - 3) = (-6, -4, -3)

Теперь найдем векторный произведение AB и AC, чтобы найти площадь параллелограмма:

AB x AC = |i j k|

|3 5 -3|

|-6 -4 -3|

Вычисляем определитель:

• i(5 * -3 - (-3) * -4) - j(3 * -3 - (-3) * -6) + k(3 * -4 - 5 * -6)
• i(-15 - 12) - j(-9 + 18) + k(-12 + 30)
• i(-27) - j(9) + k(18)

Вектор AB x AC = (-27, -9, 18).

Теперь найдем длину этого вектора, чтобы получить площадь:

Площадь = |AB x AC| = √((-27)^2 + (-9)^2 + 18^2) = √(729 + 81 + 324) = √1134.

Теперь найдем высоты. Для этого нужно определить высоту, проведенную из точки B к грани AC:

Высота = Площадь / основание (AC).

Длину AC мы уже находили ранее, она равна √61.

Высота = √1134 / √61.

3. Объём пирамиды ABCD и высота, проведённая к грани ABC

Для нахождения объёма пирамиды ABCD используем формулу:

Объём = (1/3) * S * h, где S - площадь основания (треугольник ABC), h - высота.

Сначала найдем векторы AB и AC для основания:

• AB = (3, 5, -3)
• AC = (-6, -4, -3)

Теперь найдем векторное произведение AB и AC, чтобы найти площадь треугольника ABC:

AB x AC = |i j k|

|3 5 -3|

|-6 -4 -3|

Вычисляем определитель:

• i(5 * -3 - (-3) * -4) - j(3 * -3 - (-3) * -6) + k(3 * -4 - 5 * -6)
• i(-15 + 12) - j(-9 + 18) + k(-12 + 30)
• i(-3) - j(9) + k(18)

Вектор AB x AC = (-3, -9, 18).

Теперь найдем длину этого вектора для площади треугольника ABC:

Площадь ABC = 1/2 * |AB x AC| = 1/2 * √((-3)^2 + (-9)^2 + 18^2) = 1/2 * √(9 + 81 + 324) = 1/2 * √414.

Теперь нужно найти высоту h, проведённую из точки D к плоскости ABC. Для этого используем формулу:

h = |(AD * n)| / |n|, где n - нормальный вектор к плоскости ABC.

Нормальный вектор n = AB x AC = (-3, -9, 18).

h = |(D - A) * n| / |n|, где D - A = (0, -9, 2).

Теперь вычислим:

h = |(0, -9, 2) * (-3, -9, 18)| / |(-3, -9, 18)|.

Объём = (1/3) * S * h.

Таким образом, мы нашли угол DAC, площадь параллелограмма ABMC и объём пирамиды ABCD с высотой. Если вам нужны уточнения по конкретным шагам, пожалуйста, дайте знать!