Как можно применить правило нахождения производной сложной функции для вычисления всех частных производных функции

f(x,y,z)=1/√(x²+y²+z²)

, где x = sin(st), y = cos(st) и z = st²?

Математика Колледж Частные производные и производные сложной функции правило нахождения производной производная сложной функции частные производные функция F(X,Y,Z) применение производной математика вычисление производных Новый

Чтобы найти частные производные функции f(x, y, z) = 1/√(x² + y² + z²) с использованием правила нахождения производной сложной функции, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их подробнее.

1. Определение переменных:

   У нас есть функция f, которая зависит от трех переменных x, y и z. При этом x, y и z зависят от параметра t:

   • x = sin(st)
   • y = cos(st)
   • z = st²
2. Вычисление частных производных:

   Для нахождения частных производных функции f по переменным x, y и z, мы можем использовать правило цепи. Это правило гласит, что если функция зависит от переменной через другую функцию, то производная будет равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции.

   Частные производные f по x, y и z можно записать следующим образом:

   • ∂f/∂x = df/dx
   • ∂f/∂y = df/dy
   • ∂f/∂z = df/dz
   • ∂f/∂t = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt) + (∂f/∂z)(dz/dt)
3. Вычисление df/dx, df/dy, df/dz:

   Сначала найдем производные f по x, y и z:

   • df/dx = -1/2 * (x² + y² + z²)^(-3/2) * 2x = -x/(x² + y² + z²)^(3/2)
   • df/dy = -1/2 * (x² + y² + z²)^(-3/2) * 2y = -y/(x² + y² + z²)^(3/2)
   • df/dz = -1/2 * (x² + y² + z²)^(-3/2) * 2z = -z/(x² + y² + z²)^(3/2)
4. Вычисление dx/dt, dy/dt, dz/dt:

   Теперь найдем производные x, y и z по t:

   • dx/dt = cos(st) * s
   • dy/dt = -sin(st) * s
   • dz/dt = 2st
5. Составление полной производной:

   Теперь мы можем найти полную производную функции f по t:

   ∂f/∂t = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt) + (∂f/∂z)(dz/dt)

   Подставив найденные значения, мы получим:

   ∂f/∂t = (-x/(x² + y² + z²)^(3/2)) * (cos(st) * s) + (-y/(x² + y² + z²)^(3/2)) * (-sin(st) * s) + (-z/(x² + y² + z²)^(3/2)) * (2st)

Таким образом, мы нашли частную производную функции f по t, используя правило нахождения производной сложной функции. Этот процесс позволяет нам анализировать, как функция изменяется в зависимости от параметра t, учитывая зависимости x, y и z от этого параметра.