Как можно решить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами: y''' + 3 * y'' + 3 * y' + y = 0?

Математика Колледж Линейные дифференциальные уравнения линейное однородное дифференциальное уравнение постоянные коэффициенты решение дифференциального уравнения методы решения математические методы дифференциальные уравнения 12 класса Новый

Для решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, такого как:

y''' + 3 * y'' + 3 * y' + y = 0

необходимо следовать следующим шагам:

1. Записать характеристическое уравнение. Для данного уравнения мы можем заменить производные на переменные. Для третьей производной y''' мы используем переменную r, для второй y'' - r², для первой y' - r, и для y - 1. Таким образом, характеристическое уравнение будет выглядеть так:
• r³ + 3r² + 3r + 1 = 0
2. Найти корни характеристического уравнения. Мы можем попробовать найти корни этого уравнения, используя метод подбора или деления многочленов. В данном случае, можно заметить, что r = -1 является корнем. Проверим:
• (-1)³ + 3(-1)² + 3(-1) + 1 = -1 + 3 - 3 + 1 = 0
3. Так как r = -1 является корнем, мы можем использовать деление многочленов для нахождения других корней. Делим r³ + 3r² + 3r + 1 на (r + 1):
• r³ + 3r² + 3r + 1 = (r + 1)(r² + 2r + 1)
4. Теперь у нас есть квадратное уравнение r² + 2r + 1 = 0, которое можно решить с помощью формулы корней:
• r = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a = (-2 ± √(2² - 4*1*1)) / 2*1 = (-2 ± 0) / 2 = -1
5. Таким образом, r = -1 является корнем кратности 3.
6. Записать общее решение уравнения. Поскольку у нас есть один корень -1 с кратностью 3, общее решение будет иметь вид:
• y(t) = C₁ * e^(-t) + C₂ * t * e^(-t) + C₃ * t² * e^(-t)
7. где C₁, C₂ и C₃ - произвольные постоянные, которые определяются начальными условиями, если они заданы.

Таким образом, мы нашли общее решение данного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.