Как можно решить неравенство 3(cot 2)(x) + cot (x) - 4 < 0?

Математика Колледж Неравенства тригонометрических функций решение неравенства неравенство с котангенсом котангенс математика неравенства алгебра Тригонометрия Новый

Чтобы решить неравенство 3(cot²(x)) + cot(x) - 4 < 0, давайте сначала упростим его, введя замену переменной.

Шаг 1: Замена переменной

• Обозначим cot(x) = t. Тогда наше неравенство принимает вид:
• 3t² + t - 4 < 0.

Шаг 2: Решение квадратного неравенства

• Теперь нам нужно решить квадратное уравнение 3t² + t - 4 = 0. Для этого используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
• t = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a), где a = 3, b = 1, c = -4.
• Подставим значения:
• t = ( -1 ± √(1² - 4 * 3 * (-4)) ) / (2 * 3).
• t = ( -1 ± √(1 + 48) ) / 6.
• t = ( -1 ± √49 ) / 6.
• t = ( -1 ± 7 ) / 6.

Шаг 3: Находим корни

• Первый корень:
• t₁ = (6) / 6 = 1.
• Второй корень:
• t₂ = (-8) / 6 = -4/3.

Шаг 4: Определение знаков

• Теперь у нас есть два корня: t₁ = 1 и t₂ = -4/3.
• Неравенство 3t² + t - 4 < 0 будет иметь отрицательные значения между корнями, так как коэффициент при t² положительный.
• Таким образом, неравенство выполняется для: -4/3 < t < 1.

Шаг 5: Возвращаемся к исходной переменной

• Теперь нам нужно вернуться к cot(x):
• -4/3 < cot(x) < 1.

Шаг 6: Решение для cot(x)

• Для cot(x) < 1, это означает, что x находится в интервале:
• x ∈ (π/4 + kπ, 3π/4 + kπ), где k - целое число.
• Для cot(x) > -4/3, нужно решить неравенство, которое можно преобразовать:
• cot(x) = cos(x)/sin(x) > -4/3, что эквивалентно cos(x) > -4/3 * sin(x).

Таким образом, окончательное решение неравенства 3(cot²(x)) + cot(x) - 4 < 0 будет заключаться в нахождении интервалов, которые удовлетворяют обоим условиям. Это может потребовать дополнительного анализа тригонометрических функций и их периодичности.