Как найти предел функции f(x)=9x^2 + 6x^3 + 11x-3, используя формулы f(x+∆x) и ∆y/∆x?

Математика Колледж Пределы и производные функции предел функции f(x)=9x^2 + 6x^3 + 11x-3 формулы f(x+∆x) ∆y/∆x математика 12 класс Новый

Чтобы найти предел функции f(x) = 9x^2 + 6x^3 + 11x - 3, используя подход с ∆x и ∆y, следуем следующим шагам:

1. Определение ∆x и ∆y:
   • Пусть ∆x - это небольшое изменение x, то есть ∆x = x + h, где h - это очень маленькое значение.
   • Тогда мы можем выразить ∆y как f(x + ∆x) - f(x), то есть ∆y = f(x + h) - f(x).
2. Вычисление f(x + h):
   • Теперь подставим (x + h) в функцию f(x):
   • f(x + h) = 9(x + h)^2 + 6(x + h)^3 + 11(x + h) - 3.
   • Раскроем скобки:
   • (x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2, следовательно, 9(x + h)^2 = 9x^2 + 18xh + 9h^2.
   • (x + h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3, следовательно, 6(x + h)^3 = 6x^3 + 18x^2h + 18xh^2 + 6h^3.
   • 11(x + h) = 11x + 11h.
   • Теперь соберем все части:
   • f(x + h) = (9x^2 + 6x^3 + 11x - 3) + (18xh + 9h^2) + (18x^2h + 18xh^2 + 6h^3) + 11h.
3. Вычисление ∆y:
   • Теперь мы можем найти ∆y:
   • ∆y = f(x + h) - f(x) = (18xh + 9h^2 + 18x^2h + 18xh^2 + 6h^3 + 11h).
4. Нахождение ∆y/∆x:
   • Теперь мы можем найти отношение ∆y/∆x:
   • ∆y/∆x = (18xh + 9h^2 + 18x^2h + 18xh^2 + 6h^3 + 11h) / h.
   • Упрощаем это выражение, деля каждое слагаемое на h:
   • ∆y/∆x = 18x + 9h + 18x^2 + 18xh + 6h^2 + 11.
5. Предел при h стремящемся к 0:
   • Теперь мы можем найти предел, когда h стремится к 0:
   • lim (h → 0) ∆y/∆x = 18x + 0 + 18x^2 + 0 + 0 + 11 = 18x^2 + 18x + 11.

Таким образом, предел функции f(x) как x стремится к некоторому значению (например, x0) равен 18x0^2 + 18x0 + 11.

Если вам нужно найти конкретное значение предела, просто подставьте значение x0 в полученное выражение.