Как определить промежутки монотонности и экстремумы функции y = x^4 - 4x?

Математика Колледж Анализ функций промежутки монотонности экстремумы функции производная функции анализ функции задачи по математике 12 класс математика график функции функция y = x^4 - 4x Новый

Чтобы определить промежутки монотонности и экстремумы функции y = x^4 - 4x, следуем следующим шагам:

1. Найдем производную функции.

   Для начала, вычислим первую производную функции y по x. Используем правило дифференцирования:

   y' = d/dx (x^4) - d/dx (4x) = 4x^3 - 4.

2. Найдем критические точки.

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Установим производную равной нулю:

   4x^3 - 4 = 0.

   Решим это уравнение:

   • 4x^3 = 4
   • x^3 = 1
   • x = 1.

   Таким образом, у нас есть одна критическая точка: x = 1.

3. Определим знаки производной.

   Теперь нужно исследовать знак производной на интервалах, которые определяются критической точкой. Мы рассмотрим интервалы:

   • (-∞, 1)
   • (1, +∞)

   Выберем тестовые точки:

   • Для интервала (-∞, 1) возьмем x = 0:

   y'(0) = 4(0)^3 - 4 = -4 (меньше 0, функция убывает).

   • Для интервала (1, +∞) возьмем x = 2:

   y'(2) = 4(2)^3 - 4 = 28 (больше 0, функция возрастает).

4. Определим промежутки монотонности.

   На основе знаков производной мы можем сделать выводы о монотонности:

   • Функция убывает на интервале (-∞, 1).
   • Функция возрастает на интервале (1, +∞).
5. Найдем экстремумы.

   Так как функция убывает до x = 1 и возрастает после, мы можем заключить, что в точке x = 1 находится минимум функции. Теперь найдем значение функции в этой точке:

   y(1) = (1)^4 - 4(1) = 1 - 4 = -3.

   Таким образом, у нас есть минимум в точке (1, -3).

В итоге:

• Промежутки монотонности: убывает на (-∞, 1), возрастает на (1, +∞).
• Экстремум: минимум в точке (1, -3).