Как решить уравнение 3y^2y' + y^3 = x + 1, если известны значения y = -1 и x = 1?

Математика Колледж Дифференциальные уравнения решение уравнения математика 3y^2y' y^3 y = -1 x = 1 уравнения с параметрами Новый

Чтобы решить уравнение 3y^2y' + y^3 = x + 1, сначала определим, что такое y' в данном контексте. y' обозначает производную функции y по переменной x. Таким образом, уравнение можно записать как:

3y^2 dy/dx + y^3 = x + 1.

Теперь, подставим известные значения y = -1 и x = 1 в уравнение, чтобы проверить, удовлетворяют ли они этому уравнению:

1. Подставим y = -1:
• y^2 = (-1)^2 = 1
• y^3 = (-1)^3 = -1
2. Теперь подставим x = 1:
• Слева: 3 * 1 * dy/dx - 1 = 1 + 1
• Слева: 3 * dy/dx - 1 = 2

Теперь у нас есть уравнение:

3 dy/dx - 1 = 2

Решим это уравнение для dy/dx:

1. Добавим 1 к обеим сторонам:
• 3 dy/dx = 3
2. Теперь разделим обе стороны на 3:
• dy/dx = 1

Таким образом, мы нашли производную dy/dx = 1. Это означает, что функция y является линейной и может быть записана в виде:

y = x + C

где C - константа интегрирования. Теперь, чтобы найти значение C, подставим y = -1 и x = 1:

1. -1 = 1 + C
2. Следовательно, C = -2.

Теперь мы можем записать окончательное решение:

y = x - 2.

Это уравнение описывает зависимость y от x. Мы нашли решение уравнения, используя известные значения y и x.