Для вычисления интеграла ∫L xy ds по контуру прямоугольника с вершинами A(0, 0), B(4, 0), C(4, 2) и D(0, 2), нам нужно разбить интеграл на части, соответствующие каждому отрезку контура. Контур состоит из четырех отрезков:

• AB: от A(0, 0) до B(4, 0)
• BC: от B(4, 0) до C(4, 2)
• CD: от C(4, 2) до D(0, 2)
• DA: от D(0, 2) до A(0, 0)

Теперь мы можем вычислить интеграл по каждому из этих отрезков отдельно.

1. Интеграл по отрезку AB:

На отрезке AB y = 0, и ds = dx, где x изменяется от 0 до 4.

Таким образом, интеграл будет:

∫AB xy ds = ∫(0 to 4) (x * 0) dx = 0

2. Интеграл по отрезку BC:

На отрезке BC x = 4, и ds = dy, где y изменяется от 0 до 2.

Интеграл будет:

∫BC xy ds = ∫(0 to 2) (4y) dy = 4 * ∫(0 to 2) y dy = 4 * [y^2 / 2](0 to 2) = 4 * (2^2 / 2 - 0) = 4 * 2 = 8

3. Интеграл по отрезку CD:

На отрезке CD y = 2, и ds = -dx, где x изменяется от 4 до 0.

Интеграл будет:

∫CD xy ds = ∫(4 to 0) (x * 2)(-dx) = 2 * ∫(0 to 4) x dx = 2 * [x^2 / 2](0 to 4) = 2 * (16 / 2) = 16

4. Интеграл по отрезку DA:

На отрезке DA x = 0, и ds = -dy, где y изменяется от 2 до 0.

Интеграл будет:

∫DA xy ds = ∫(2 to 0) (0 * y)(-dy) = 0

Суммирование интегралов:

Теперь мы можем сложить все найденные интегралы:

∫L xy ds = ∫AB xy ds + ∫BC xy ds + ∫CD xy ds + ∫DA xy ds = 0 + 8 + 16 + 0 = 24

Ответ: ∫L xy ds = 24