Какое максимальное количество чисел можно выбрать из множества 1, 2, 3, ..., 2k + 1, так чтобы разница любых двух чисел из выбранного множества не принадлежала этому же множеству?

Математика Колледж Комбинаторика максимальное количество чисел разница чисел множество 1 2 3 выбор чисел условия выбора задача на выбор математика 12 класс Новый

Для решения этой задачи нам нужно понять, как мы можем выбрать числа из множества {1, 2, 3, ..., 2k + 1} так, чтобы разница любых двух выбранных чисел не принадлежала этому же множеству.

Рассмотрим множество чисел {1, 2, 3, ..., 2k + 1}. Это множество содержит 2k + 1 чисел. Нам нужно выбрать такие числа, что разница между любыми двумя из них не будет находиться в этом же множестве.

Чтобы достичь этой цели, давайте воспользуемся следующим подходом:

1. Выберем числа, которые находятся на равных расстояниях друг от друга.
2. Например, мы можем выбрать только нечетные числа из этого множества. Нечетные числа в нашем случае будут: 1, 3, 5, ..., 2k + 1.

Теперь посчитаем количество нечетных чисел в этом множестве:

• Первое нечетное число: 1.
• Последнее нечетное число: 2k + 1.
• Каждое нечетное число может быть представлено в виде 2n + 1, где n - это целое неотрицательное число.
• Таким образом, n может принимать значения от 0 до k, что дает нам (k + 1) нечетных чисел.

Теперь проверим, действительно ли разница между любыми двумя нечетными числами не принадлежит множеству {1, 2, 3, ..., 2k + 1}:

• Разница между любыми двумя нечетными числами всегда будет четным числом.
• Все четные числа в этом множестве: 2, 4, 6, ..., 2k, не входят в наш выбор (т.е. нечетные числа).

Следовательно, разница между любыми двумя выбранными нечетными числами не принадлежит множеству {1, 2, 3, ..., 2k + 1}.

Таким образом, максимальное количество чисел, которые можно выбрать из данного множества, равно:

k + 1