Какой радиус основания и высоту цилиндра можно найти, если диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см и образует с плоскостью основания угол 30 градусов?

Математика Колледж Цилиндры и их свойства радиус основания цилиндра высота цилиндра диагональ осевого сечения угол с плоскостью основания Новый

Для решения этой задачи давайте сначала разберемся, что такое осевое сечение цилиндра. Осевое сечение - это сечение цилиндра, проведенное через его ось, которое представляет собой прямоугольник. В этом прямоугольнике одна сторона будет равна высоте цилиндра, а другая сторона будет равна диаметру основания цилиндра.

Дано, что диагональ осевого сечения равна 48 см и образует угол 30 градусов с плоскостью основания. Мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты и радиуса основания.

1. Определим высоту цилиндра:
• Пусть h - высота цилиндра, d - диаметр основания цилиндра.
• Диагональ осевого сечения (d') образует угол 30 градусов с плоскостью основания. Мы можем использовать синус для нахождения высоты:
• Синус угла 30 градусов равен отношению противолежащего катета (высоты h) к гипотенузе (диагонали осевого сечения d'):
• sin(30) = h / d' → 0.5 = h / 48.
• Отсюда находим h: h = 48 * 0.5 = 24 см.
2. Определим радиус основания цилиндра:
• Теперь мы знаем, что диагональ осевого сечения также равна корню из суммы квадратов высоты и диаметра основания:
• d' = sqrt(h^2 + d^2).
• Подставляем h = 24 см и d = 2r (где r - радиус основания):
• 48 = sqrt(24^2 + (2r)^2).
• Возводим обе стороны в квадрат: 48^2 = 24^2 + (2r)^2.
• 2304 = 576 + 4r^2.
• 4r^2 = 2304 - 576 = 1728.
• r^2 = 1728 / 4 = 432.
• r = sqrt(432) = 12 * sqrt(3) см (или примерно 20.78 см).

Ответ: Радиус основания цилиндра равен 12 * sqrt(3) см (примерно 20.78 см), а высота цилиндра равна 24 см.