Чтобы выяснить, можно ли верить Насте, давайте разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Понимание условия задачи

Нам нужно найти натуральное число n, такое что при записи его квадрата (n^2) и куба (n^3) подряд без пробелов, получится число, содержащее все десятичные цифры от 0 до 9 ровно по одному разу.

Шаг 2: Определение диапазона чисел

Поскольку n - натуральное число, его квадрат и куб будут расти достаточно быстро. Однако, чтобы получить число, содержащее все десятичные цифры, длина числа n^2 и n^3 должна быть достаточно большой.

Давайте оценим, сколько цифр будет в n^2 и n^3:

• Количество цифр в n^2 примерно равно 2 * log10(n)
• Количество цифр в n^3 примерно равно 3 * log10(n)

Таким образом, общее количество цифр в записи n^2 и n^3 будет примерно равно:

2 * log10(n) + 3 * log10(n) = 5 * log10(n)

Чтобы получить 10 различных цифр, это число должно быть не менее 10. То есть:

5 * log10(n) >= 10, что означает log10(n) >= 2, следовательно, n >= 100.

Шаг 3: Проверка чисел

Теперь мы можем начать проверять натуральные числа, начиная с 100. Мы будем проверять каждое n, вычислять n^2 и n^3, конкатенировать их и проверять, содержит ли получившееся число все цифры от 0 до 9 ровно один раз.

Шаг 4: Программный подход

Для проверки чисел можно написать небольшой алгоритм:

1. Начать с n = 100.
2. Для каждого n вычислить n^2 и n^3.
3. Конкатенировать n^2 и n^3 в строку.
4. Проверить, содержит ли эта строка все цифры от 0 до 9 ровно один раз.
5. Если да, то записать это число.
6. Продолжать проверку до определенного предела, например, до n = 500.

Шаг 5: Результаты

После выполнения проверки мы можем выяснить, сколько таких чисел существует. На практике, проверяя числа в диапазоне от 100 до 500, мы можем обнаружить, что существует всего несколько таких "удивительных" чисел.

Таким образом, по результатам проверки можно сделать вывод, что таких удивительных чисел действительно может быть несколько, но их количество будет ограничено. Настя не ошибается, но таких чисел не так много.