Для построения последовательности, которая будет иметь предельные точки во всех точках интервала [0, 1], мы можем использовать последовательность, основанную на дробях. Давайте рассмотрим последовательность, которая будет состоять из дробей, представляющих все возможные рациональные числа в интервале [0, 1].

Одним из способов построить такую последовательность является использование дробей вида k/n, где k - целое число, а n - натуральное число. Таким образом, мы можем определить последовательность следующим образом:

• Для каждого n = 1, 2, 3, ...
• Для каждого k от 0 до n (включительно), добавляем элемент k/n в последовательность.

Таким образом, наша последовательность будет выглядеть следующим образом:

• При n = 1: 0/1 = 0, 1/1 = 1
• При n = 2: 0/2 = 0, 1/2 = 0.5, 2/2 = 1
• При n = 3: 0/3 = 0, 1/3, 2/3, 3/3 = 1
• При n = 4: 0/4 = 0, 1/4, 2/4 = 0.5, 3/4, 4/4 = 1
• И так далее...

Теперь давайте рассмотрим, как мы можем доказать, что эта последовательность имеет предельные точки во всех точках интервала [0, 1]. Для этого мы воспользуемся определением предельной точки.

Определение предельной точки: Точка x является предельной точкой множества A, если для любого ε > 0 существует точка y из A, такая что 0 < |x - y| < ε.

Теперь проверим, что для любой точки x из интервала [0, 1] и любого ε > 0, можно найти элементы последовательности, которые находятся в пределах ε от x.

1. Пусть x - произвольная точка из [0, 1], и ε > 0.
2. Выберем n таким образом, чтобы 1/n < ε. Это возможно, так как n может быть любым большим числом.
3. Теперь рассмотрим дробь k/n, где k - целое число, такое что 0 ≤ k ≤ n.
4. Мы можем выбрать k таким образом, чтобы k/n находилось в пределах ε от x. Например, если n достаточно велико, то можно найти k, которое будет близко к nx.
5. Таким образом, для любого ε > 0 мы можем найти элементы последовательности, которые находятся в пределах ε от x, что доказывает, что x является предельной точкой.

Следовательно, мы показали, что для каждой точки x из интервала [0, 1] и для любого ε > 0 существует элемент последовательности, который находится в пределах ε от x. Это означает, что каждая точка из [0, 1] является предельной точкой данной последовательности.

Таким образом, мы построили последовательность, которая имеет предельные точки во всех точках интервала [0, 1], и доказали это утверждение.